Campo exponencial

En matemáticas , un cuerpo exponencial es un cuerpo con una operación unaria adicional que es un homomorfismo del grupo aditivo del cuerpo a su grupo multiplicativo. Esto generaliza la idea habitual de exponenciación en los números reales , donde la base es un número real positivo elegido.

Un campo es una estructura algebraica compuesta por un conjunto de elementos.${\displaystyle F}$y dos operaciones binarias , suma (${\displaystyle +}$) y multiplicación (${\displaystyle \cdot }$), de tal manera que${\displaystyle F}$forma un grupo abeliano bajo adición con identidad${\displaystyle 0_{F}}$y${\displaystyle F}$a excepción de${\displaystyle 0_{F}}$forma un grupo abeliano bajo la multiplicación con identidad${\displaystyle 1_{F}}$. Además, la multiplicación es distributiva sobre la suma; es decir, para cualquier elemento${\displaystyle a,b,c}$en${\displaystyle F}$, uno tiene

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

Si también hay una función${\displaystyle E}$que mapas${\displaystyle F}$en${\displaystyle F}$y tal que para cada${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en${\displaystyle F}$uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a+b)=E(a)\cdot E(b),\\&E(0_{F})=1_{F},\end{aligned}}}$

entonces${\displaystyle F}$se denomina campo exponencial y la función${\displaystyle E}$se denomina función exponencial en${\displaystyle F}$. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, una función exponencial en un cuerpo es un homomorfismo entre el grupo aditivo de${\displaystyle F}$y su grupo multiplicativo.

Existe una función exponencial trivial en cualquier cuerpo, a saber, la función que asigna a cada elemento el elemento neutro del cuerpo bajo la multiplicación. Por lo tanto, todo cuerpo es trivialmente un cuerpo exponencial, de modo que los casos de interés para los matemáticos se dan cuando la función exponencial no es trivial.

A veces se requiere que los campos exponenciales tengan característica cero, ya que la única función exponencial en un campo con característica distinta de cero es la trivial. ^{[ 2 ]} Para ver esto, primero observe que para cualquier elemento${\displaystyle x}$en un campo${\displaystyle F}$con características${\displaystyle p>0}$,

${\displaystyle 1=E(0)=E(\underbrace {x+x+\cdots +x} _{p{\text{ times}}})=E(x)E(x)\cdots E(x)=E(x)^{p}.}$

Por eso

${\displaystyle E(x)^{p}-1=E(x)^{p}-1^{p}=(E(x)-1)^{p}=0}$

y entonces${\displaystyle E(x)=1}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle F}$. ^{[ 3 ]}

• El campo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$formalmente${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1)}$, tiene infinitas funciones exponenciales. Una de esas funciones es la función exponencial usual.${\displaystyle E(x)=e^{x}}$, puesto que tenemos${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$y${\displaystyle e^{0}=1}$según sea necesario. Teniendo en cuenta el campo ordenado${\displaystyle \mathbb {R} }$equipado con esta función da el campo exponencial real ordenado, denotado${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{exp}}=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,<,0,1,\operatorname {exp} )}$.
• Cualquier número real${\displaystyle a>0}$da una función exponencial en${\displaystyle \mathbb {R} }$donde el mapa${\displaystyle E(x)=a^{x}}$Satisface las propiedades requeridas.
• De forma análoga al campo exponencial real, existe el campo exponencial complejo ,${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{exp}}=(\mathbb {C} ,+,\cdot ,0,1,\operatorname {exp} )}$Sin embargo, este campo no está ordenado.
• Boris Zilber construyó un campo exponencial que, fundamentalmente, satisface la formulación equivalente de la conjetura de Schanuel con la función exponencial del campo. ^{[ 4 ]} Se conjetura que este campo exponencial es en realidad${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{exp}}}$y una prueba de este hecho demostraría así la conjetura de Schanuel.

El conjunto subyacente${\displaystyle F}$puede que no sea necesario que sea un campo, sino que se le permita simplemente ser un anillo ,${\displaystyle R}$y, simultáneamente, la función exponencial se relaja para ser un homomorfismo del grupo aditivo en${\displaystyle R}$al grupo multiplicativo de unidades${\displaystyle R^{\times }}$El objeto resultante se llama anillo exponencial . ^{[ 2 ]}

Un ejemplo de anillo exponencial con una función exponencial no trivial es el anillo de los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$equipado con la función${\displaystyle E}$que toma el valor${\displaystyle 1}$en números enteros pares y${\displaystyle -1}$en enteros impares, es decir, la función${\displaystyle n\mapsto (-1)^{n}}$. Esta función exponencial, y la trivial, son las únicas dos funciones en${\displaystyle \mathbb {Z} }$que satisfacen las condiciones. ^{[ 5 ]}

Los campos exponenciales son objetos muy estudiados en la teoría de modelos , proporcionando ocasionalmente un vínculo entre esta y la teoría de números, como en el caso del trabajo de Zilber sobre la conjetura de Schanuel . Se demostró en la década de 1990 que${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{exp}}}$es modelo completo , un resultado conocido como el teorema de Wilkie . Este resultado, cuando se combina con el teorema de Khovanskii sobre funciones pfaffianas , prueba que${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{exp}}}$también es o-mínimo . ^{[ 6 ]} Por otro lado, se sabe que${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{exp}}}$no es un modelo completo. ^{[ 7 ]} La cuestión de la decidibilidad aún no está resuelta. Alfred Tarski planteó la cuestión de la decidibilidad de${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{exp}}}$y por lo tanto ahora se conoce como el problema de la función exponencial de Tarski . Se sabe que si la versión real de la conjetura de Schanuel es verdadera, entonces${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{exp}}}$es decidible. ^{[ 8 ]}

• Campo exponencial ordenado