Función auxiliar

Debido a la convención de nomenclatura mencionada anteriormente, las funciones auxiliares pueden datarse hasta su origen simplemente observando los primeros resultados en la teoría de la trascendencia. Uno de estos primeros resultados fue la prueba de Liouville de que existen números trascendentales cuando demostró que los llamados números de Liouville eran trascendentales. ^{[ 2 ]} Lo hizo descubriendo un criterio de trascendencia que estos números satisfacían. Para derivar este criterio, comenzó con un número algebraico general α y encontró alguna propiedad que este número necesariamente satisfaría. La función auxiliar que utilizó en el curso de la demostración de este criterio fue simplemente el polinomio mínimo de α, que es el polinomio irreducible f con coeficientes enteros tales que f (α)  =  0. Esta función puede usarse para estimar qué tan bien el número algebraico α puede ser estimado por números racionales p / q . Específicamente, si α tiene grado d al menos dos, entonces demostró que

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}},}$

y también, utilizando el teorema del valor medio , que existe alguna constante que depende de α, digamos c (α), tal que

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

La combinación de estos resultados da como resultado una propiedad que debe satisfacer el número algebraico; por lo tanto, cualquier número que no satisfaga este criterio debe ser trascendental.

La función auxiliar en el trabajo de Liouville es muy simple: un polinomio que se anula en un número algebraico dado. Esta propiedad suele ser la que cumplen las funciones auxiliares. Se anulan o se vuelven muy pequeñas en puntos específicos, lo cual generalmente se combina con la suposición de que no se anulan o no pueden ser demasiado pequeñas como para impedir la obtención de un resultado.

Otro ejemplo sencillo y temprano se encuentra en la demostración de Fourier de la irracionalidad de e , ^{[ 3 ]} aunque la notación utilizada suele ocultar este hecho. La demostración de Fourier utilizó la serie de potencias de la función exponencial :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Al truncar esta serie de potencias después de, digamos, N  +  1 términos, obtenemos un polinomio con coeficientes racionales de grado N que, en cierto sentido, está "cerca" de la función e ^x . Específicamente, si observamos la función auxiliar definida por el resto:

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Entonces, esta función —un polinomio exponencial— debería tomar valores pequeños para x cercanos a cero. Si e es un número racional, al sustituir x  =  1 en la fórmula anterior, vemos que R (1) también es un número racional. Sin embargo, Fourier demostró que R (1) no podía ser racional eliminando todos los denominadores posibles. Por lo tanto , e no puede ser racional.

Hermite extendió el trabajo de Fourier aproximando la función e ^x no con un polinomio sino con una función racional , es decir, un cociente de dos polinomios. En particular, eligió los polinomios A ( x ) y B ( x ) de tal manera que la función auxiliar R definida por

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

podría hacerse tan pequeño como quisiera alrededor de x  =  0. Pero si e ^r fuera racional, entonces R ( r ) tendría que ser racional con un denominador particular, sin embargo, Hermite podría hacer que R ( r ) fuera demasiado pequeño para tener tal denominador, por lo tanto, una contradicción.

Para demostrar que e era de hecho trascendental, Hermite llevó su trabajo un paso más allá aproximando no solo la función e ^x , sino también las funciones e ^kx para enteros k  =  1,..., m , donde asumió que e era algebraica con grado m . Al aproximar e ^kx mediante funciones racionales con coeficientes enteros y con el mismo denominador, digamos A _k ( x )  / B ( x ), pudo definir funciones auxiliares R _k ( x ) mediante 

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

Para su contradicción, Hermite supuso que e satisfacía la ecuación polinómica con coeficientes enteros a ₀  + a ₁ e + ... + a _m e ^m = 0. Multiplicando esta expresión por B (1) notó que implicaba       

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

El lado derecho es un número entero y, por lo tanto, al estimar las funciones auxiliares y demostrar que 0  <  | R |  <  1, derivó la contradicción necesaria.

Sea β igual a la raíz cúbica de b/a en la ecuación ax ³ + bx ³ = c y supongamos que m es un entero que satisface m + 1 > 2 n /3 ≥ m ≥ 3 donde n es un entero positivo.

Entonces existe

${\displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

de tal manera que

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).}$

El teorema del polinomio auxiliar establece:

${\displaystyle \max _{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}.}$

En la década de 1960, Serge Lang demostró un resultado utilizando esta forma no explícita de funciones auxiliares. El teorema implica tanto los teoremas de Hermite-Lindemann como de Gelfond-Schneider . ^{[ 8 ]} El teorema trata sobre un cuerpo numérico K y funciones meromorfas f ₁ ,..., f _N de orden como máximo ρ , de las cuales al menos dos son algebraicamente independientes, y tales que si diferenciamos cualquiera de estas funciones, el resultado es un polinomio en todas las funciones. Bajo estas hipótesis, el teorema establece que si hay m números complejos distintos ω ₁ ,...,ω _m tales que f _i (ω _j ) está en K para todas las combinaciones de i y j , entonces m está acotado por  

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ].}$

Para demostrar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f ₁ ,..., f _N , digamos f y g , y luego creó una función auxiliar que era simplemente un polinomio F en f y g . Esta función auxiliar no podía enunciarse explícitamente ya que f y g no se conocen explícitamente. Pero usando el lema de Siegel, Lang mostró cómo hacer F de tal manera que se anulara en un orden alto en los m números complejos ω ₁ ,...,ω _m . Debido a esta anulación de orden alto, se puede demostrar que una derivada de orden alto de F toma un valor de tamaño pequeño uno de los ω _i s , "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número. Usando el principio del módulo máximo, Lang también encontró una manera separada de estimar los valores absolutos de las derivadas de F , y usando resultados estándar que comparan el tamaño de un número y su valor absoluto, demostró que estas estimaciones se contradecían a menos que se cumpliera la cota afirmada para m .

Una de las aplicaciones más sencillas de este método es la demostración de la versión real del teorema de Hermite-Lindemann . Es decir, si α es un número algebraico real distinto de cero, entonces e ^α es trascendental. Primero, sea k un número natural y n un múltiplo grande de k . El determinante de interpolación considerado es el determinante Δ de la matriz n ⁴ × n ^4.

${\displaystyle \left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right).}$

Las filas de esta matriz están indexadas por 1  ≤ i ₁ ≤ n ⁴ / k y 1 ≤ i ₂ ≤ k , mientras que las columnas están indexadas por 1 ≤ j ₁ ≤ n ³ y 1 ≤ j ₂ ≤ n . Así que las funciones en nuestra matriz son monomios en x y e ^x y sus derivadas, y estamos interpolando en los k puntos 0,α,2α,...,( k − 1)α. Suponiendo que e ^α es algebraico podemos formar el campo numérico Q (α, e ^α ) de grado m sobre Q , y luego multiplicar Δ por un denominador adecuado , así como todas sus imágenes bajo las incrustaciones del campo Q (α, e ^α ) en C . Por razones algebraicas, este producto es necesariamente un número entero, y utilizando argumentos relacionados con los Wronskianos se puede demostrar que no es cero, por lo que su valor absoluto es un número entero Ω ≥ 1.                   

Utilizando una versión del teorema del valor medio para matrices, también es posible obtener una cota analítica para Ω, y de hecho, utilizando la notación de la gran O, tenemos

${\displaystyle \Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).}$

El número m está fijado por el grado del campo Q (α, e ^α ), pero k es el número de puntos en los que estamos interpolando, por lo que podemos aumentarlo a voluntad. Y una vez que k  >  2( m  +  1)/3 tendremos Ω  →  0, lo que eventualmente contradice la condición establecida Ω  ≥  1. Por lo tanto, e ^α no puede ser algebraico después de todo. ^{[ 11 ]}