Principio del módulo máximo

Supongamos que${\displaystyle D}$es un subconjunto abierto, conexo, con límite, no vacío y de${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dejar${\displaystyle {\overline {D}}}$ser el cierre de${\displaystyle D}$. Supongamos que${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$es una función continua que es holomorfa en${\displaystyle D}$. Entonces${\displaystyle |f(z)|}$alcanza un máximo en algún punto del límite de${\displaystyle D}$.

Esto se desprende de la primera versión de la siguiente manera. Dado que${\displaystyle {\overline {D}}}$es compacto y no vacío, la función continua${\displaystyle |f(z)|}$alcanza un máximo en algún momento${\displaystyle z_{0}}$de${\displaystyle {\overline {D}}}$. Si${\displaystyle z_{0}}$no está en el límite, entonces el principio del módulo máximo implica que${\displaystyle f}$es constante, por lo tanto${\displaystyle |f(z)|}$También alcanza el mismo máximo en cualquier punto del límite.

Para una función holomorfa${\displaystyle f}$en un conjunto abierto conectado${\displaystyle D}$de${\displaystyle \mathbb {C} }$, si${\displaystyle z_{0}}$es un punto en${\displaystyle D}$de tal manera que

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

a pesar de${\displaystyle z}$en algún barrio de${\displaystyle z_{0}}$, entonces${\displaystyle f}$es constante en${\displaystyle D}$.

Demostración: Aplicar el principio del módulo máximo a${\displaystyle 1/f}$.

Se puede utilizar la igualdad

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

para logaritmos naturales complejos deducir que${\displaystyle \ln |f(z)|}$es una función armónica . Dado que${\displaystyle z_{0}}$es un máximo local para esta función también, se deduce del principio del máximo que ${\displaystyle |f(z)|}$ es constante. Luego, utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, demostramos que${\displaystyle f'(z)}$= 0, y por lo tanto que${\displaystyle f(z)}$también es constante. Un razonamiento similar muestra que ${\displaystyle |f(z)|}$ solo puede tener un mínimo local (que necesariamente tiene valor 0) en un cero aislado de${\displaystyle f(z)}$.

Otra prueba funciona utilizando el teorema del valor medio de Gauss para "forzar" que todos los puntos dentro de discos abiertos superpuestos asuman el mismo valor que el máximo. Los discos se colocan de tal manera que sus centros forman una trayectoria poligonal desde el valor donde${\displaystyle f(z)}$se maximiza a cualquier otro punto del dominio, estando totalmente contenido dentro del dominio. Por lo tanto, la existencia de un valor máximo implica que todos los valores del dominio son iguales, por lo tanto${\displaystyle f(z)}$es constante.

Fuente: ^{[ 1 ]}

Como${\displaystyle D}$está abierto, existe${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$(una bola cerrada centrada en${\displaystyle a\in D}$con radio${\displaystyle r>0}$) tal que${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$. A continuación, definimos el límite de la bola cerrada con orientación positiva como${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$Invocando la fórmula integral de Cauchy, obtenemos

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

A pesar de${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$,${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$, entonces${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$Esto también se cumple para todas las bolas de radio menor que${\displaystyle r}$centrado en${\displaystyle a}$. Por lo tanto,${\displaystyle f(z)=f(a)}$a pesar de${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$.

Ahora consideremos la función constante.${\displaystyle g(z)=f(a)}$a pesar de${\displaystyle z\in D}$. Entonces se puede construir una secuencia de puntos distintos ubicados en${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$donde la función holomorfa${\displaystyle gf}$desaparece. Como${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$está cerrada, la secuencia converge a algún punto en${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$. Esto significa${\displaystyle fg}$desaparece en todas partes en${\displaystyle D}$lo cual implica${\displaystyle f(z)=f(a)}$a pesar de${\displaystyle z\in D}$.