Espacio conectado

Subespacios conectados y desconectados de R²

De arriba abajo: el espacio rojo A , el espacio rosa B , el espacio amarillo C y el espacio naranja D son todos espacios conexos , mientras que el espacio verde E (compuesto por los subconjuntos E ₁ , E ₂ , E ₃ y E ₄ ) es disconexo . Además, A y B también son simplemente conexos ( género 0), mientras que C y D no lo son: C tiene género 1 y D tiene género 4.

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio conexo es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conexidad es una de las principales propiedades topológicas que distinguen a los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico es un${\displaystyle X}$conjunto conectado si es un espacio conectado cuando se considera como unsubespaciode. ${\displaystyle X}$

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son la conexión por caminos , la conexión simple y la conexión . Otra noción relacionada es la conexión local , que no implica ni se deduce de la conectividad. ${\displaystyle n}$

Se dice que un espacio topológico es${\displaystyle X}$Un subconjunto de un espacio topológico se considera conexo si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,se dice que esconexo. Unde un espacio topológico se considera conexo si es conexo bajo su topología de subespacio. Algunos autores excluyen elconjunto vacío(con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica. ${\displaystyle X}$

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de ausencia de partición en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de forma independiente) con N.J. Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Véase ( Wilder 1978 ) para más detalles. ${\displaystyle X}$

La conexidad define una relación de equivalencia en el siguiente sentido: dados dos puntos en un espacio topológico , escribimos si pertenecen al mismo subconjunto conexo. Entonces, esta es una relación de equivalencia. ^{[ 2 ]}${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \sim }$

Dado un punto en un espacio topológico, la unión de cualquier colección de subconjuntos conexos tales que cada uno contiene será nuevamente un subconjunto conexo. La componente conexa de un punto en es la unión de todos los subconjuntos conexos de que lo contienen ; es el único subconjunto conexo más grande (con respecto a ) de que contiene. Los subconjuntos conexos máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conexas del espacio. Las componentes de un espacio topológico forman una partición de  : son disjuntas , no vacías y su unión es todo el espacio. De hecho, una componente conexa es lo mismo que una clase de equivalencia cuando dos puntos son equivalentes si pertenecen al mismo subconjunto conexo (véase § Definición formal ). ^{[ 3 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente también es un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, esto podría no ser así; por ejemplo, las componentes conexas del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( conjuntos unitarios ), que no son abiertos. Demostración: Dos números racionales distintos cualesquiera están en componentes diferentes. Tomemos un número irracional y luego establezcamos y Entonces es una separación de y . Por lo tanto, cada componente es un conjunto de un punto. ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle q_{1}\in A,q_{2}\in B}$

Sea la componente conexa de en un espacio topológico y sea la intersección de todos los conjuntos clopen que contienen (llamada cuasicomponente de ). Entonces, donde la igualdad se cumple si es Hausdorff compacto o localmente conexo. ^{[ 4 ]}${\displaystyle \Gamma _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$${\displaystyle X}$

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llamatotalmente desconectado . Relacionado con esta propiedad, se llamaespacio${\displaystyle X}$totalmente separado si, para cualesquiera dos elementos distintosyde, existenconjuntos abiertosque contienenycontienentales quees la unión dey. Claramente, cualquier espacio totalmente separado es totalmente disconexo, pero lo contrario no se cumple. Por ejemplo, tomemos dos copias de los números racionales, e identifiquémoslas en todos los puntos excepto en cero. El espacio resultante, con latopología cociente, es totalmente disconexo. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no es totalmente separado. De hecho, ni siquiera esHausdorff, y la condición de ser totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El intervalo cerrado en la topología de subespacio estándar es conexo; aunque se puede escribir, por ejemplo, como la unión de y el segundo conjunto no es abierto en la topología elegida de${\displaystyle [0,2)}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle [1,2),}$${\displaystyle [0,2).}$
• La unión de y está desconectada; ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar.${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$está desconectado.
• El espacio con la topología indiscreta es conexo, ya que sus únicos conjuntos abiertos son y .${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$
• El subespacio no está conectado. De hecho, los conjuntos y son no vacíos, disjuntos y abiertos en la topología del subespacio en , y juntos forman una separación de .${\displaystyle Y=[-1,0)\cup (0,1]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle [-1,0)}$${\displaystyle (0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• Un subconjunto convexo de es conexo; en realidad es simplemente conexo .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un plano euclidiano sin el origen es conexo, pero no simplemente conexo. El espacio euclidiano tridimensional sin el origen es conexo, e incluso simplemente conexo. En cambio, el espacio euclidiano unidimensional sin el origen no es conexo.${\displaystyle (0,0),}$
• Un plano euclidiano al que se le ha quitado una línea recta no está conectado, ya que consta de dos semiplanos.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, el espacio de los números reales con la topología usual, es conexo.
• La línea Sorgenfrey está desconectada. ^{[ 5 ]}
• If even a single point is removed from ${\displaystyle \mathbb {R} }$, the remainder is disconnected. However, if even a countable infinity of points are removed from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, where ${\displaystyle n\geq 2,}$ the remainder is connected. If ${\displaystyle n\geq 3}$, then ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ remains simply connected after removal of countably many points.
• Any topological vector space, e.g. any Hilbert space or Banach space, over a connected field (such as ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$), is simply connected.
• Every discrete topological space with at least two elements is disconnected, in fact such a space is totally disconnected. The simplest example is the discrete two-point space.^[6]
• On the other hand, a finite set might be connected. For example, the spectrum of a discrete valuation ring consists of two points and is connected. It is an example of a Sierpiński space.
• The Cantor set is totally disconnected; since the set contains uncountably many points, it has uncountably many components.
• If a space ${\displaystyle X}$ is homotopy equivalent to a connected space, then ${\displaystyle X}$ is itself connected.
• The topologist's sine curve is an example of a set that is connected but is neither path connected nor locally connected.
• The general linear group${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ (that is, the group of ${\displaystyle n}$-by-${\displaystyle n}$ real, invertible matrices) consists of two connected components: the one with matrices of positive determinant and the other of negative determinant. In particular, it is not connected. In contrast, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ is connected. More generally, the set of invertible bounded operators on a complex Hilbert space is connected.
• The spectra of commutative local ring and integral domains are connected. More generally, the following are equivalent^[7]
  1. The spectrum of a commutative ring ${\displaystyle R}$ is connected
  2. Every finitely generated projective module over ${\displaystyle R}$ has constant rank.
  3. ${\displaystyle R}$ has no idempotent${\displaystyle \neq 0,1}$ (i.e., ${\displaystyle R}$ is not a product of two rings in a nontrivial way).

An example of a space that is not connected is a plane with an infinite line deleted from it. Other examples of disconnected spaces (that is, spaces which are not connected) include the plane with an annulus removed, as well as the union of two disjoint closed disks, where all examples of this paragraph bear the subspace topology induced by two-dimensional Euclidean space.

AEl espacio conectado por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino de un puntoa un puntoen unespacio topológicoes una función continuadelintervalo unitarioacony. Un${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(0)=x}$${\displaystyle f(1)=y}$El componente de camino dees unaclase de equivalenciadebajo larelación de equivalenciaque haceequivalente asi y solo si hay un camino dea. ^{[ 8 ]} Se dice queel espacioconexo por caminos(oconexo por caminoso-conexo) si hay exactamente un componente de camino. ^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

De forma equivalente, un componente de camino de es un subconjunto conexo de camino maximal de (para ver la equivalencia, obsérvese que un componente de camino en el sentido anterior es conexo de camino). ^{[ 10 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Todo espacio conectado por caminos es conectado. ^{[ 11 ]} Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no son conectados por caminos incluyen la línea larga extendida y la curva sinusoidal del topólogo . ${\displaystyle L^{*}}$

Los subconjuntos de la recta real están conectados si y solo si están conectados por caminos; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de . Además, los subconjuntos abiertos de o están conectados si y solo si están conectados por caminos. Adicionalmente, la conexidad y la conexidad por caminos son lo mismo para espacios topológicos finitos . ^{[ 12 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Se dice que un espacio es conexo por arcos o conexo por arcos si dos puntos topológicamente distinguibles pueden unirse mediante un arco , que es una incrustación . Un componente de arco de es un subconjunto conexo por arcos maximal de ; o, equivalentemente, una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Todo espacio de Hausdorff que es conexo por caminos es también conexo por arcos; ^{[ 13 ]} más generalmente esto es cierto para un espacio -Hausdorff , que es un espacio donde cada imagen de un camino es cerrada. Un ejemplo de un espacio que es conexo por caminos pero no conexo por arcos está dado por la línea con dos orígenes ; sus dos copias de pueden estar conectadas por un camino pero no por un arco. ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle 0}$

La intuición para espacios conexos por caminos no se transfiere fácilmente a espacios conexos por arcos. Sea la recta con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos se cumplen para espacios conexos por caminos, pero no para espacios conexos por arcos: ${\displaystyle X}$

• La imagen continua de un espacio conectado por arcos puede no ser conectada por arcos: por ejemplo, una aplicación cociente de un espacio conectado por arcos a su cociente con una cantidad numerable (al menos 2) de puntos topológicamente distinguibles no puede ser conectada por arcos debido a una cardinalidad demasiado pequeña.
• Los componentes de arco pueden no ser disjuntos. Por ejemplo, tiene dos componentes de arco superpuestos.${\displaystyle X}$
• El espacio producto conexo por arcos puede no ser un producto de espacios conexos por arcos. Por ejemplo, es conexo por arcos, pero no lo es.${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• Los componentes de arco de un espacio producto pueden no ser productos de componentes de arco de los espacios marginales. Por ejemplo, tiene un único componente de arco, pero tiene dos componentes de arco.${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• Si los subconjuntos conectados por arcos tienen una intersección no vacía, entonces su unión puede no estar conectada por arcos. Por ejemplo, los componentes de arco de se intersecan, pero su unión no está conectada por arcos.${\displaystyle X}$

Se dice que un espacio topológico es localmente conexo en un punto si cada entorno de contiene un entorno abierto conexo. Es localmente conexo si tiene una base de conjuntos conexos. Se puede demostrar que un espacio es localmente conexo si y solo si cada componente de cada conjunto abierto de es abierto. ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

De manera similar, se dice que un espacio topológico esUn espacio es conexo por caminos localmente si su base está formada por conjuntos conexos por caminos. Un subconjunto abierto de un espacio conexo por caminos localmente es conexo si y solo si es conexo por caminos. Esto generaliza la afirmación anterior sobrey, cada uno de los cuales es conexo por caminos localmente. De forma más general, cualquiervariedad topológicaes conexa por caminos localmente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La conexión local no implica conexión, ni la conexión por caminos local implica conexión por caminos. Un ejemplo sencillo de un espacio conectado localmente (y conectado por caminos localmente) que no está conectado (o conectado por caminos) es la unión de dos intervalos separados en , como . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$

Un ejemplo clásico de un espacio conexo que no está conectado localmente es la llamada curva sinusoidal del topólogo , definida como , con la topología euclidiana inducida por la inclusión en . ${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

La intersección de conjuntos conexos no implica necesariamente que el conjunto sea conexo.

La unión de conjuntos conexos no es necesariamente conexa, como se puede ver al considerar . ${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$

Cada elipse es un conjunto conexo, pero la unión no es conexa, ya que se puede particionar en dos conjuntos abiertos disjuntos y . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Esto significa que, si la unión es desconectada, entonces la colección se puede particionar en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean disjuntas y abiertas en (ver imagen). Esto implica que, en varios casos, una unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$${\displaystyle X}$

1. Si la intersección común de todos los conjuntos no es vacía ( ), entonces obviamente no se pueden particionar en colecciones con uniones disjuntas . Por lo tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa.${\textstyle \bigcap X_ {i}\neq \emptyset}$
2. Si la intersección de cada par de conjuntos no es vacía ( ), entonces tampoco se pueden particionar en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe ser conectada.${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces su unión también debe estar conectada.${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. Si los conjuntos son disjuntos dos a dos y el espacio cociente es conexo, entonces X debe ser conexo. De lo contrario, si es una separación de X, entonces es una separación del espacio cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). ^{[ 14 ]}${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$${\displaystyle U\cup V}$${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$${\displaystyle q(U),q(V)}$

La diferencia de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Sin embargo, si y su diferencia es disconexa (y por lo tanto se puede escribir como una unión de dos conjuntos abiertos y ), entonces la unión de con cada uno de dichos componentes es conexa (es decir, es conexa para todo ). ${\displaystyle X\supseteq Y}$${\displaystyle X\setminus Y}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\cup X_{i}}$${\displaystyle i}$

• Teorema principal de conexidad : Sean y espacios topológicos y sea una función continua. Si es conexa por caminos, entonces su imagen es conexa por caminos. Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$
• Cada espacio conectado por un camino está conectado.
• En un espacio conectado por caminos localmente, todo conjunto abierto conectado es conectado por caminos.
• Cada espacio conectado localmente por una ruta está conectado localmente.
• Un espacio conectado localmente por caminos está conectado por caminos si y solo si está conectado.
• La clausura de un subconjunto conexo es conexa. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conexo y su clausura es conexo.
• Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no abiertos).
• Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también son abiertos.
• Los componentes conexos de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conectados por caminos (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
• Todo cociente de un espacio conectado (resp. conectado localmente, conectado por caminos, conectado localmente por caminos) es conectado (resp. conectado localmente, conectado por caminos, conectado localmente por caminos).
• Todo producto de una familia de espacios conectados (resp. conectados por caminos) está conectado (resp. conectado por caminos).
• Todo subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (o conectado por caminos localmente) está conectado localmente (o conectado por caminos localmente).
• Cada variedad está conectada localmente por caminos.
• El espacio conectado por arcos está conectado por caminos, pero el espacio conectado por caminos puede no estar conectado por arcos.
• La imagen continua de un conjunto conectado por arcos es conectada por arcos.

Los grafos poseen subconjuntos conexos por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos está unido por un camino de aristas. Sin embargo, no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que genere los mismos conjuntos conexos. El grafo de 5 ciclos (y cualquier ciclo de n con impar) es un ejemplo de ello. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$

En consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. En efecto, existe una categoría de espacios conectivos que consiste en conjuntos con colecciones de subconjuntos conexos que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que mapean conjuntos conexos a otros conjuntos conexos ( Muscat y Buhagiar, 2006 ). Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, todo grafo puede transformarse canónicamente en un espacio topológico, considerando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (véase Teoría topológica de grafos#Grafos como espacios topológicos ). Entonces, se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido de la teoría de grafos) si y solo si es conexo como espacio topológico.

Existen formas de conectividad más fuertes para los espacios topológicos , por ejemplo:

• Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico , deben ser conexos, y por lo tanto los espacios hiperconexos también son conexos.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Dado que un espacio simplemente conexo , por definición, también debe ser conexo por caminos, cualquier espacio simplemente conexo también está conectado. Si se elimina el requisito de "conexiones por caminos" de la definición de conectividad simple, un espacio simplemente conexo no necesita estar conectado.
• Sin embargo, las versiones más robustas de conectividad incluyen la noción de espacio contraíble . Todo espacio contraíble está conectado por caminos y, por lo tanto, también está conectado.

En general, cualquier espacio conectado por caminos debe ser conexo, pero existen espacios conexos que no lo son. El espacio peine eliminado proporciona un ejemplo de ello, al igual que la curva sinusoidal del topólogo mencionada anteriormente.

Un espacio bien encadenado es un espacio métrico en el que dos puntos arbitrarios pueden conectarse mediante una cadena de puntos que están arbitrariamente cerca. Si bien cualquier conjunto bien encadenado es conexo, ^{[ 16 ] : Cap. I §8} lo contrario no es cierto (un ejemplo es ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Componente conexo (teoría de grafos)  : subgrafo maximal cuyos vértices pueden alcanzarse entre sí.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• lugar de conexión
• Dominio (análisis matemático)  – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológico
• Espacio extremadamente desconectado  : espacio topológico en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto.
• Espacio conectado localmente  : propiedad de los espacios topológicos.
• n -conectado
• Espacio uniformemente conectado  – Tipo de espacio uniforme
• Conectividad de píxeles

• Bredon, GE (2013). Topología y geometría . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 139. Springer Science & Business Media.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general (Edición revisada y completa). Lemgo: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Espacios conectivos" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Serie B: Math. Sc . 39 : 1–13 . Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Recuperado el 17 de mayo de 2010 ..
• Wilder, RL (1978). "Evolución del concepto topológico de "conectado"". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720– 726. doi : 10.2307/2321676 . JSTOR  2321676 .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.