espacio de peine

En matemáticas, particularmente en topología , un espacio peine es un subespacio particular de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$que se asemeja a un peine . El espacio peine posee propiedades que sirven como varios contraejemplos . La curva sinusoidal del topólogo tiene propiedades similares al espacio peine. El espacio peine eliminado es una variación del espacio peine.

Considerar${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con su topología estándar y sea K el conjunto${\displaystyle \{1/n~|~n\in \mathbb {N} \}}$El conjunto C se define por:

${\displaystyle (\{0\}\times [0,1])\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$

considerado como un subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$El espacio equipado con la topología de subespacio se conoce como espacio peine. El espacio peine eliminado, D, se define por:

${\displaystyle (\{0\}\times \{1\})\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})}$.

Este es el espacio del peine con el segmento de línea.${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$eliminado.

El espacio peine y el espacio peine eliminado tienen algunas propiedades topológicas interesantes relacionadas principalmente con la noción de conectividad .

• El espacio peine, C, es conexo por caminos y contraíble , pero no localmente contraíble, localmente conexo por caminos ni localmente conexo.
• El espacio de peine eliminado, D, está conectado:

  Sea E el espacio peine sin${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$. E también es conexo por caminos y el cierre de E es el espacio peine. Como E${\displaystyle \subset }$D${\displaystyle \subset }$el cierre de E, donde E está conectado, el espacio de peine eliminado también está conectado.

• El espacio de peine eliminado no está conectado por ruta ya que no hay ruta desde (0,1) a (0,0):

  Supongamos que hay un camino desde p = (0,  1) hasta el punto (0,  0) en D. Sea f  :  [0,  1]  → D este camino. Demostraremos que f ^{− 1} { p } es a la vez abierto y cerrado en [0, 1], lo que contradice la conexidad de este conjunto. Claramente tenemos f ^{− 1} { p } es cerrado en [0, 1] por la continuidad de f . Para demostrar que f ^{− 1} { p } es abierto, procedemos de la siguiente manera: Elegimos un entorno V (abierto en R ² ) alrededor de p que no interseca el eje x . Supongamos que x es un punto arbitrario en f ^{− 1} { p }. Claramente, f ( x ) = p . Entonces, como f ^{− 1} ( V ) es abierto, hay un elemento base U que contiene a x tal que f ( U ) es un subconjunto de V . Afirmamos que f ( U ) = { p } lo que significa que U es un subconjunto abierto de f ^{− 1} { p } que contiene a x . Como x era arbitrario, f ^{− 1} { p } será entonces abierto. Sabemos que U es conexo ya que es un elemento base para la topología de orden en [0, 1]. Por lo tanto, f ( U ) es conexo. Supongamos que f ( U ) contiene un punto s distinto de p . Entonces s = (1/ n , z ) debe pertenecer a D . Escojamos r tal que 1/( n + 1) < r < 1/ n . Como f ( U ) no interseca el eje x , los conjuntos A = ( − ∞              , r ) ×${\displaystyle \mathbb {R} }$y B = ( r , + ∞ ) ×${\displaystyle \mathbb {R} }$Esto formará una separación en f ( U ); contradiciendo la conexidad de f ( U ). Por lo tanto, f ^{− 1} { p } es a la vez abierto y cerrado en [0, 1]. Esto es una contradicción.  

• El espacio peine es homotópico a un punto pero no admite una fuerte deformación retracción sobre un punto para cada elección de punto base que se encuentre en el segmento.${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$

• Espacio conectado
• espacio erizo
• Escoba infinita
• Lista de topologías
• Espacio conectado localmente
• Topología de orden
• Curva sinusoidal del topólogo

• James Munkres (1999). Topología (2.ª  ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Kiyosi Itô (ed.). "Conectividad". Diccionario enciclopédico de matemáticas . Sociedad Matemática de Japón.

• Weisstein, Eric W. "Espacio de peine" . MathWorld .