Hispanopedia WikiUn contraejemplo es un ejemplo específico que contradice una afirmación, hipótesis o generalización . En lógica, un contraejemplo refuta una afirmación universalmente enunciada, y lo hace rigurosamente en los campos de las matemáticas y la filosofía . [ 1 ] Por ejemplo, la afirmación de que "el estudiante John Smith no es perezoso" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son perezosos", y a la vez un contraejemplo y una refutación de la afirmación universalmente cuantificada "todos los estudiantes son perezosos". [ 2 ]
En matemáticas
En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para demostrar los límites de los posibles teoremas. Al usar contraejemplos para demostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos. [ 3 ]
Ejemplo de rectángulo
Supongamos que una matemática está estudiando geometría y figuras geométricas , y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Conjetura que "Todos los rectángulos son cuadrados " y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar demostrar la veracidad de la afirmación mediante razonamiento deductivo , o bien buscar un contraejemplo si sospecha que es falsa. En este último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no sea un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los que halló tenían cuatro lados. Entonces formula la nueva conjetura: «Todos los rectángulos tienen cuatro lados». Esta es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que todo cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda figura de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explicaba —de forma simplificada— cómo una matemática podría debilitar su conjetura ante contraejemplos, pero estos también pueden usarse para demostrar la necesidad de ciertas suposiciones e hipótesis . Por ejemplo, supongamos que, después de un tiempo, la matemática anterior llegó a la nueva conjetura: «Todas las figuras que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados». Esta conjetura tiene dos partes en la hipótesis: la figura debe ser «un rectángulo» y debe tener «cuatro lados de igual longitud». La matemática querría saber si puede eliminar alguna de las suposiciones y aun así mantener la veracidad de su conjetura. Esto significa que necesita comprobar la veracidad de las dos afirmaciones siguientes:
- "Todas las figuras que son rectángulos son cuadrados."
- "Todas las figuras que tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados".
Ya se ha dado un contraejemplo para (1), y un contraejemplo para (2) es un rombo no cuadrado . Por lo tanto, el matemático ahora sabe que cada suposición por sí sola es insuficiente.
Otros ejemplos matemáticos
Un contraejemplo a la afirmación "todos los números primos son impares " es el número 2, ya que es primo pero no impar. [ 1 ] Ni el 7 ni el 10 son contraejemplos, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la afirmación. En este ejemplo, el 2 es, de hecho, el único contraejemplo posible, aunque por sí solo sea suficiente para contradecirla. De manera similar, la afirmación "Todos los números naturales son primos o compuestos " tiene al número 1 como contraejemplo, ya que el 1 no es ni primo ni compuesto.
La conjetura de Euler sobre la suma de potencias fue refutada mediante un contraejemplo. Afirmaba que se necesitaban al menos n potencias de orden n para sumar otra potencia de orden n . Esta conjetura fue refutada en 1966, [ 4 ] con un contraejemplo que involucraba n = 5; ahora se conocen otros contraejemplos para n = 5, así como algunos para n = 4. [ 5 ]
El contraejemplo de Witsenhausen demuestra que no siempre es cierto (para problemas de control ) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado impliquen leyes de control óptimas que sean lineales.
Todas las isometrías del plano euclidiano son mapeos que preservan el área , pero lo contrario es falso, como lo demuestran los contraejemplos de mapeo de cizallamiento y mapeo de compresión .
Otros ejemplos incluyen las refutaciones de la conjetura de Seifert , la conjetura de Pólya , la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert , la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea .
En filosofía
En filosofía , los contraejemplos se utilizan habitualmente para argumentar que una determinada postura filosófica es errónea, demostrando que no se aplica en ciertos casos. Alternativamente, el filósofo puede modificar su afirmación de modo que el contraejemplo deje de ser válido; esto es análogo a cuando un matemático modifica una conjetura debido a un contraejemplo.
Por ejemplo, en el Gorgias de Platón , Calicles argumenta que quienes son físicamente más fuertes o más capaces tienen derecho natural a gobernar sobre los más débiles. Sócrates responde proponiendo que la gran cantidad de gente común, en virtud de su fuerza combinada, podría considerarse "más fuerte" que la pequeña élite aristocrática, aunque las masas sean, a primera vista, de peor carácter. Esto presenta un contraejemplo a la afirmación de Calicles, al desplazar la noción de fuerza de la superioridad individual al poder colectivo. Por lo tanto, el argumento de Calicles falla bajo esta interpretación alternativa, a menos que revise su afirmación. [ 6 ]
Calicles podría refutar el contraejemplo de Sócrates, argumentando quizás que la plebe es realmente superior a los nobles, o que incluso en gran número, no es más fuerte. Pero si Calicles acepta el contraejemplo, entonces debe retractarse de su afirmación o modificarla para que el contraejemplo deje de ser válido. Por ejemplo, podría modificar su afirmación para referirse únicamente a individuos, lo que le obligaría a considerar al pueblo como un conjunto de individuos en lugar de una multitud. De hecho, modifica su afirmación para decir "más sabios" en lugar de "más fuertes", argumentando que ninguna superioridad numérica puede hacer a las personas más sabias.
Véase también
Referencias
- 1 2 "Mathwords: Counterexample" . www.mathwords.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ↑ Weisstein, Eric W. "Contraejemplo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ↑ "¿Qué es un contraejemplo?" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ↑ Lander, Parkin (1966). "Contraejemplo a la conjetura de Euler sobre sumas de potencias semejantes" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (6). Sociedad Matemática Americana: 1079. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11654-3 . ISSN 0273-0979 . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
- ↑ Elkies, Noam (octubre de 1988). "Sobre A4 + B4 + C4 = D4" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 51 (184): 825–835 .
- ↑ Platón (1952). Gorgias . Critias. Nueva York: Liberal Arts Press. pp. 488e– 489a.
Lecturas adicionales
- Imre Lakatos , Pruebas y refutaciones (1976) Cambridge University Press ISBN 0521290384
- James Franklin y Albert Daoud (2011) Demostración en matemáticas: Una introducción , Kew, Sydney ISBN 978-0-646-54509-7, cap. 6.
- Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. (1978) Contraejemplos en topología , Springer, Nueva York ISBN 0-486-68735-X.
- Joseph P. Romano y Andrew F. Siegel (1986) Contraejemplos en probabilidad y estadística Chapman & Hall, Nueva York, Londres ISBN 0-412-98901-8.
- Gary L. Wise y Eric B. Hall (1993) Contraejemplos en probabilidad y análisis real . Oxford University Press, Nueva York ISBN 0-19-507068-2.
- Bernard R. Gelbaum , John MH Olmsted (2003) Contraejemplos en análisis . Reimpresión corregida de la segunda edición (1965), Dover Publications, Mineola, NY ISBN 0-486-42875-3.
- Jordan M. Stoyanov (1997) Contraejemplos en probabilidad Segunda edición, Wiley, Chichester ISBN 0-471-96538-3.
- Michael Copobianco y John Mulluzzo (1978) Ejemplos y contraejemplos en teoría de grafos , Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3.
Enlaces externos
Citas relacionadas con el contraejemplo en Wikiquote
- Terminología matemática
- Lógica
- Interpretación (filosofía)
- Métodos de prueba
