Conjetura de Ganea

La conjetura de Ganea es una afirmación ahora refutada en topología algebraica . Afirma que

${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1}$

a pesar de${\displaystyle n>0}$, dónde ${\displaystyle \operatorname {cat} (X)}$es la categoría de Lusternik-Schnirelmann de un espacio topológico X , y S ⁿ es la esfera n -dimensional .

La desigualdad

${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)}$

es válido para cualquier par de espacios,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. Además,${\displaystyle \operatorname {cat} (S^{n})=1}$, para cualquier esfera${\displaystyle S^{n}}$,${\displaystyle n>0}$Por lo tanto, la conjetura equivale a${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})\geq \operatorname {cat} (X)+1}$.

La conjetura fue formulada por Tudor Ganea en 1971. Se demostraron muchos casos particulares de esta conjetura, y Norio Iwase dio un contraejemplo para el caso general en 1998. En un artículo posterior de 2002, Iwase dio un contraejemplo aún más fuerte, con X una variedad lisa cerrada . Este contraejemplo también refutó una conjetura relacionada, que afirmaba que

${\displaystyle \operatorname {cat} (M\setminus \{p\})=\operatorname {cat} (M)-1,}$

para un colector cerrado${\displaystyle M}$y${\displaystyle p}$un punto en${\displaystyle M}$.

Un contraejemplo de dimensión mínima a la conjetura fue construido por Don Stanley y Hugo Rodríguez Ordóñez en 2010. Tiene dimensión 7 y${\displaystyle \operatorname {cat} (X)=2}$y para suficientemente grande${\displaystyle n}$,${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})}$también es 2.

Este trabajo plantea la pregunta: ¿Para qué espacios X es la condición de Ganea?${\displaystyle \operatorname {cat} (X\times S^{n})=\operatorname {cat} (X)+1}$¿satisfecho? Se ha conjeturado que estos son precisamente los espacios X para los cuales${\displaystyle \operatorname {cat} (X)}$es igual a un invariante relacionado,${\displaystyle \operatorname {Qcat} (X).}$

• Ganea, Tudor (1971). «Algunos problemas sobre invariantes de homotopía numérica». Simposio sobre Topología Algebraica (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Washington, 1971) . Lecture Notes in Mathematics . Vol.  249. Berlín: Springer. pp. 23–30 . doi : 10.1007/BFb0060892 . ISBN  978-3-540-05715-4MR 0339147 .​ 
• Hess, Kathryn (1991). "Una demostración de la conjetura de Ganea para espacios racionales". Topology . 30 (2): 205– 214. doi : 10.1016/0040-9383(91)90006-P . MR 1098914 . 
• Iwase, Norio (1998). "La conjetura de Ganea sobre la categoría de Lusternik-Schnirelmann". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 30 (6): 623– 634. CiteSeerX 10.1.1.509.2343 . doi : 10.1112/S0024609398004548 . MR 1642747 .  
• Iwase, Norio (2002). "Un método _∞ en la categoría de Lusternik-Schnirelmann". Topología . 41 (4): 695– 723. arXiv : math/0202119 . doi : 10.1016/S0040-9383(00)00045-8 . MR 1905835 . 
• Stanley, Donald; Rodríguez Ordóñez, Hugo (2010). "Un contraejemplo de dimensión mínima a la conjetura de Ganea" . Topology and Its Applications . 157 (14): 2304– 2315. doi : 10.1016/j.topol.2010.06.009 . MR 2670507 . 
• Vandembroucq, Lucile (2002). "Suspensión fibrosa y categoría de Lusternik-Schnirelmann". Topología . 41 (6): 1239– 1258. doi : 10.1016/S0040-9383(02)00007-1 . MR 1923222 .