Pruebas y refutaciones

Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático es un libro de 1976 del filósofo Imre Lakatos que expone su visión del progreso de las matemáticas . El libro está escrito como una serie de diálogos socráticos en los que un grupo de estudiantes discuten demostraciones propuestas para la fórmula poliédrica de Euler . Un tema central es que las definiciones no son inamovibles, sino que a menudo deben revisarse a la luz de nuevos descubrimientos, en particular, de demostraciones fallidas . Esto le confiere a las matemáticas un carácter experimental. Al final de la introducción, Lakatos explica que su propósito es desafiar el formalismo en matemáticas y demostrar que las matemáticas informales crecen mediante una lógica de "pruebas y refutaciones".

El libro de 1976, Pruebas y refutaciones, se basa en los tres primeros capítulos de su tesis doctoral de 1961, compuesta por cuatro capítulos, Ensayos sobre la lógica del descubrimiento matemático . Sin embargo, su primer capítulo es una revisión que Lakatos hizo del capítulo 1, publicado originalmente como Pruebas y refutaciones en cuatro partes entre 1963 y 1964 en el British Journal for the Philosophy of Science .

En el libro se explican muchas ideas lógicas importantes. Por ejemplo, se analiza la diferencia entre un contraejemplo a un lema (un llamado «contraejemplo local») y un contraejemplo a la conjetura específica que se está cuestionando (un «contraejemplo global» a la característica de Euler, en este caso). ^{[ 1 ]}

Lakatos aboga por un tipo de libro de texto diferente, uno que utilice un estilo heurístico. A los críticos que dicen que un libro de texto así sería demasiado largo, responde: «La respuesta a este argumento tan simplista es: intentémoslo».

El libro incluye dos apéndices. En el primero, Lakatos ofrece ejemplos del proceso heurístico en el descubrimiento matemático. En el segundo, contrasta los enfoques deductivista y heurístico, y proporciona un análisis heurístico de algunos conceptos «generados por demostración», como la convergencia uniforme , la variación acotada y la definición de Carathéodory de un conjunto medible.

Los alumnos del libro reciben nombres de letras del alfabeto griego.

Aunque el libro está escrito en forma narrativa, su objetivo es desarrollar un método de investigación real basado en "pruebas y refutaciones". En el Apéndice I, Lakatos resume este método mediante la siguiente lista de etapas:

1. Conjetura primitiva.
2. Prueba (un experimento mental o argumento aproximado, que descompone la conjetura primitiva en subconjeturas).
3. Surgen contraejemplos "globales" (contraejemplos a la conjetura primitiva).
4. Prueba revisada: se descubre el «lema culpable» del cual el contraejemplo global es un contraejemplo «local». Este lema culpable pudo haber permanecido «oculto» o haber sido malinterpretado. Ahora se explicita y se incorpora a la conjetura original como una condición. El teorema —la conjetura mejorada— reemplaza a la conjetura original, siendo el nuevo concepto generado por la prueba su característica principal.

A continuación, describe otras etapas que podrían tener lugar en ocasiones:

5. Se examinan las demostraciones de otros teoremas para ver si el lema recién descubierto o el nuevo concepto generado por la demostración aparece en ellas: este concepto puede encontrarse en la encrucijada de diferentes demostraciones y, por lo tanto, emerger como de importancia fundamental.
6. Se comprueban las consecuencias, hasta ahora aceptadas, de la conjetura original, ahora refutada.
7. Los contraejemplos se convierten en nuevos ejemplos: se abren nuevos campos de investigación.

El libro de 1976 ha sido traducido a más de 15 idiomas en todo el mundo, incluidos el chino, el coreano, el serbocroata y el turco, y en 2007 se publicó su segunda edición en chino.

Varios profesores de matemáticas han implementado el método de demostraciones y refutaciones de Lakatos en el aula, al enseñar otros temas matemáticos. ^{[ 2 ]} El método se ha aplicado al análisis y presentación de la resolución de problemas en mecánica por estudiantes de secundaria y universitarios. ^{[ 3 ]}

La Asociación Matemática de América ha incluido este libro en una lista de libros que considera "esenciales para las bibliotecas de matemáticas de pregrado". ^{[ 4 ]}

• Lakatos, Imre (1976), Pruebas y refutaciones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-29038-4 ISBN​ 978-0-521-29038-8John Worrall y Elie Zahar fueron los editores de este libro póstumo.
• Gábor Kutrovátz, Filosofía de las matemáticas de Imre Lakatos , Universidad Eötvös Loránd, 2005.