Hispanopedia WikiUn contraejemplo es un ejemplo específico que contradice una afirmación, hipótesis o generalización . En lógica, un contraejemplo refuta una afirmación universalmente enunciada, y lo hace rigurosamente en los campos de las matemáticas y la filosofía . [ 1 ] Por ejemplo, la afirmación de que "el estudiante John Smith no es perezoso" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son perezosos", y a la vez un contraejemplo y una refutación de la afirmación universalmente cuantificada "todos los estudiantes son perezosos". [ 2 ]
En matemáticas
En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para demostrar los límites de los posibles teoremas. Al usar contraejemplos para demostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos. [ 3 ]
Ejemplo de rectángulo
Supongamos que una matemática está estudiando geometría y figuras geométricas , y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Conjetura que "Todos los rectángulos son cuadrados " y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar demostrar la veracidad de la afirmación mediante razonamiento deductivo , o bien buscar un contraejemplo si sospecha que es falsa. En este último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no sea un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los que halló tenían cuatro lados. Entonces formula la nueva conjetura: «Todos los rectángulos tienen cuatro lados». Esta es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que todo cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda figura de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explicaba —de forma simplificada— cómo una matemática podría debilitar su conjetura ante contraejemplos, pero estos también pueden usarse para demostrar la necesidad de ciertas suposiciones e hipótesis . Por ejemplo, supongamos que, después de un tiempo, la matemática anterior llegó a la nueva conjetura: «Todas las figuras que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados». Esta conjetura tiene dos partes en la hipótesis: la figura debe ser «un rectángulo» y debe tener «cuatro lados de igual longitud». La matemática querría saber si puede eliminar alguna de las suposiciones y aun así mantener la veracidad de su conjetura. Esto significa que necesita comprobar la veracidad de las dos afirmaciones siguientes:
- "Todas las figuras que son rectángulos son cuadrados."
- "Todas las figuras que tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados".
Ya se ha dado un contraejemplo para (1), y un contraejemplo para (2) es un rombo no cuadrado . Por lo tanto, el matemático ahora sabe que cada suposición por sí sola es insuficiente.
Otros ejemplos matemáticos
Un contraejemplo a la afirmación "todos los números primos son impares " es el número 2, ya que es primo pero no impar. [ 1 ] Ni el 7 ni el 10 son contraejemplos, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la afirmación. En este ejemplo, el 2 es, de hecho, el único contraejemplo posible, aunque por sí solo sea suficiente para contradecirla. De manera similar, la afirmación "Todos los números naturales son primos o compuestos " tiene al número 1 como contraejemplo, ya que el 1 no es ni primo ni compuesto.
La conjetura de Euler sobre la suma de potencias fue refutada mediante un contraejemplo. Afirmaba que se necesitaban al menos n potencias de orden n para sumar otra potencia de orden n . Esta conjetura fue refutada en 1966, [ 4 ] con un contraejemplo que involucraba n = 5; ahora se conocen otros contraejemplos para n = 5, así como algunos para n = 4. [ 5 ]
El contraejemplo de Witsenhausen demuestra que no siempre es cierto (para problemas de control ) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado impliquen leyes de control óptimas que sean lineales.
All Euclidean plane isometries are mappings that preserve area, but the converse is false as shown by counterexamples shear mapping and squeeze mapping.
Other examples include the disproofs of the Seifert conjecture, the Pólya conjecture, the conjecture of Hilbert's fourteenth problem, Tait's conjecture, and the Ganea conjecture.
In philosophy
In philosophy, counterexamples are usually used to argue that a certain philosophical position is wrong by showing that it does not apply in certain cases. Alternatively, the first philosopher can modify their claim so that the counterexample no longer applies; this is analogous to when a mathematician modifies a conjecture because of a counterexample.
For example, in Plato's Gorgias, Callicles argues that those who are physically stronger or more capable are naturally entitled to rule over weaker people. Socrates responds by proposing that the sheer number of ordinary people, by virtue of their combined strength, could be considered "stronger" than the aristocratic few even though the masses are prima facie of worse character. This presents a counterexample Callicles' claim, by shifting the notion of strength from individual superiority to collective power. Callicles' argument therefore fails under this alternative interpretation, unless he revises his claim.[6]
Callicles might challenge Socrates' counterexample, arguing perhaps that the common rabble really are better than the nobles, or that even in their large numbers, they still are not stronger. But if Callicles accepts the counterexample, then he must either withdraw his claim, or modify it so that the counterexample no longer applies. For example, he might modify his claim to refer only to individual persons, requiring him to think of the common people as a collection of individuals rather than as a mob. As it happens, he modifies his claim to say "wiser" instead of "stronger", arguing that no amount of numerical superiority can make people wiser.
See also
References
- 12"Mathwords: Counterexample". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-28.
- ↑Weisstein, Eric W. "Counterexample". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-28.
- ↑ "¿Qué es un contraejemplo?" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ↑ Lander, Parkin (1966). "Contraejemplo a la conjetura de Euler sobre sumas de potencias semejantes" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (6). Sociedad Matemática Americana: 1079. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11654-3 . ISSN 0273-0979 . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
- ↑ Elkies, Noam (octubre de 1988). "Sobre A4 + B4 + C4 = D4" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 51 (184): 825–835 .
- ↑ Platón (1952). Gorgias . Critias. Nueva York: Liberal Arts Press. pp. 488e– 489a.
Lecturas adicionales
- Imre Lakatos , Pruebas y refutaciones (1976) Cambridge University Press ISBN 0521290384
- James Franklin y Albert Daoud (2011) Demostración en matemáticas: Una introducción , Kew, Sydney ISBN 978-0-646-54509-7, cap. 6.
- Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. (1978) Contraejemplos en topología , Springer, Nueva York ISBN 0-486-68735-X.
- Joseph P. Romano y Andrew F. Siegel (1986) Contraejemplos en probabilidad y estadística Chapman & Hall, Nueva York, Londres ISBN 0-412-98901-8.
- Gary L. Wise y Eric B. Hall (1993) Contraejemplos en probabilidad y análisis real . Oxford University Press, Nueva York ISBN 0-19-507068-2.
- Bernard R. Gelbaum , John MH Olmsted (2003) Contraejemplos en análisis . Reimpresión corregida de la segunda edición (1965), Dover Publications, Mineola, NY ISBN 0-486-42875-3.
- Jordan M. Stoyanov (1997) Contraejemplos en probabilidad Segunda edición, Wiley, Chichester ISBN 0-471-96538-3.
- Michael Copobianco y John Mulluzzo (1978) Ejemplos y contraejemplos en teoría de grafos , Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3.
Enlaces externos
Citas relacionadas con el contraejemplo en Wikiquote
- Terminología matemática
- Lógica
- Interpretación (filosofía)
- Métodos de prueba