Variación limitada

En análisis matemático , una función de variación acotada , también conocida como función BV , es una función de valor real cuya variación total es acotada (finita): el gráfico de una función que tiene esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable , ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección del eje y , despreciando la contribución del movimiento a lo largo del eje x , recorrida por un punto que se mueve a lo largo del gráfico tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es el mismo, excepto por el hecho de que el camino continuo a considerar no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es una hipersuperficie en este caso), sino que puede ser cada intersección del propio gráfico con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, un plano ) paralelo a un eje x fijo y al eje y .

Las funciones de variación acotada son precisamente aquellas con respecto a las cuales se pueden encontrar integrales de Riemann-Stieltjes de todas las funciones continuas.

Otra caracterización establece que las funciones de variación acotada en un intervalo compacto son exactamente aquellas f que pueden escribirse como una diferencia g  −  h , donde tanto g como h son monótonas acotadas . En particular, una función BV puede tener discontinuidades, pero como máximo un número contable.

En el caso de varias variables, se dice que una función f definida en un subconjunto abierto Ω de tiene variación acotada si su derivada distribucional es una medida de Radon finita con valor vectorial . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman un álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes : debido a este hecho, pueden y frecuentemente se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales que involucran funcionales , ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales en matemáticas , física e ingeniería .

Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones continuas sobre un intervalo cerrado y acotado de la recta real:

Continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continua ⊆ absolutamente continua ⊆ variación continua y acotada ⊆ diferenciable casi en todas partes

Según Boris Golubov, las funciones BV de una sola variable fueron introducidas por primera vez por Camille Jordan , en el artículo (Jordan 1881) que trata sobre la convergencia de las series de Fourier . El primer paso exitoso en la generalización de este concepto a funciones de varias variables se debió a Leonida Tonelli , ^[1] quien introdujo una clase de funciones BV continuas en 1926 (Cesari 1986, pp. 47-48), para extender su método directo para encontrar soluciones a problemas en el cálculo de variaciones en más de una variable. Diez años después, en (Cesari 1936), Lamberto Cesari cambió el requisito de continuidad en la definición de Tonelli a un requisito de integrabilidad menos restrictivo , obteniendo por primera vez la clase de funciones de variación acotada de varias variables en su generalidad completa: como lo hizo Jordan antes que él, aplicó el concepto para resolver un problema relacionado con la convergencia de series de Fourier, pero para funciones de dos variables . Después de él, varios autores aplicaron funciones BV para estudiar series de Fourier en varias variables, teoría de la medida geométrica , cálculo de variaciones y física matemática . Renato Caccioppoli y Ennio De Giorgi las usaron para definir la medida de los límites no suaves de conjuntos (ver la entrada " Conjunto de Caccioppoli " para mayor información). Olga Arsenievna Oleinik introdujo su visión de soluciones generalizadas para ecuaciones diferenciales parciales no lineales como funciones del espacio BV en el artículo (Oleinik 1957), y fue capaz de construir una solución generalizada de variación acotada de una ecuación diferencial parcial de primer orden en el artículo (Oleinik 1959): pocos años después, Edward D. Conway y Joel A. Smoller aplicaron funciones BV al estudio de una única ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal de primer orden en el artículo (Conway & Smoller 1966), demostrando que la solución del problema de Cauchy para tales ecuaciones es una función de variación acotada, siempre que el valor inicial pertenezca a la misma clase. Aizik Isaakovich VolpertDesarrolló extensamente un cálculo para funciones BV: en el artículo (Vol'pert 1967) demostró la regla de la cadena para funciones BV y en el libro (Hudjaev & Vol'pert 1985) él, junto con su alumno Sergei Ivanovich Hudjaev, exploró extensamente las propiedades de las funciones BV y su aplicación. Su fórmula de regla de la cadena fue posteriormente ampliada por Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso en el artículo (Ambrosio & Dal Maso 1990).

Definición 1.1. La variación total de una función f de valor real (o más generalmente de valor complejo ) , definida en un intervalo, es la cantidad ${\displaystyle [a,b]\subconjunto \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

donde el supremo se toma sobre el conjunto de todas las particiones del intervalo considerado. ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$

Si f es diferenciable y su derivada es Riemann-integrable, su variación total es el componente vertical de la longitud de arco de su gráfica, es decir,

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

Definición 1.2. Se dice que una función de valor real en la recta real es de variación acotada ( función BV ) en un intervalo elegido si su variación total es finita, es decir${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

Se puede demostrar que una función real es de variación acotada en si y sólo si puede escribirse como la diferencia de dos funciones no decrecientes y en : este resultado se conoce como la descomposición de Jordan de una función y está relacionado con la descomposición de Jordan de una medida . ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle [a,b]}$

A través de la integral de Stieltjes , cualquier función de variación acotada en un intervalo cerrado define un funcional lineal acotado en . En este caso especial, ^[2] el teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani establece que todo funcional lineal acotado surge únicamente de esta manera. Los funcionales positivos normalizados o medidas de probabilidad corresponden a funciones semicontinuas inferiores no decrecientes positivas . Este punto de vista ha sido importante en la teoría espectral , ^[3] en particular en su aplicación a ecuaciones diferenciales ordinarias . ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C([a,b])}$

Las funciones de variación acotada, funciones BV , son funciones cuya derivada distribucional es una medida finita ^[4] de Radon . Más precisamente:

Definición 2.1. Sea un subconjunto abierto de . Se dice que una función perteneciente a tiene variación acotada ( función BV ) y se escribe ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

si existe una medida de Radon vectorial finita tal que se cumple la siguiente igualdad ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

es decir, define una funcional lineal sobre el espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenido en : la medida vectorial representa por tanto el gradiente distribucional o débil de . ${\displaystyle u}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Du}$ ${\displaystyle u}$

BV se puede definir de forma equivalente de la siguiente manera.

Definición 2.2. Dada una función perteneciente a , la variación total de ^[5] en se define como ${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

donde es la norma suprema esencial . A veces, especialmente en la teoría de conjuntos de Caccioppoli , se utiliza la siguiente notación ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

para enfatizar que es la variación total del gradiente distribucional / débil de . Esta notación recuerda también que si es de clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ) entonces su variación es exactamente la integral del valor absoluto de su gradiente . ${\displaystyle V(u,\Omega )}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{1}}$

El espacio de funciones de variación acotada ( funciones BV ) puede entonces definirse como

${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

Las dos definiciones son equivalentes ya que si entonces ${\displaystyle V(u,\Omega )<+\infty }$

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Por lo tanto, define una función lineal continua en el espacio . Dado que , como subespacio lineal , esta función lineal continua se puede extender de forma continua y lineal al conjunto mediante el teorema de Hahn-Banach . Por lo tanto, la función lineal continua define una medida de Radon mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Si en las definiciones precedentes 1.2 , 2.1 y 2.2 se considera el espacio funcional de funciones localmente integrables , es decir, funciones pertenecientes a , en lugar del de funciones globalmente integrables , entonces el espacio funcional definido es el de funciones de variación localmente acotada . Precisamente, desarrollando esta idea para la definición 2.2 , una variación local se define de la siguiente manera, ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

para cada conjunto , habiéndose definido como el conjunto de todos los subconjuntos abiertos precompactos de con respecto a la topología estándar de espacios vectoriales de dimensión finita , y correspondientemente la clase de funciones de variación localmente acotada se define como ${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

Básicamente existen dos convenciones distintas para la notación de espacios de funciones de variación local o globalmente acotada, y desafortunadamente son bastante similares: la primera, que es la adoptada en esta entrada, se utiliza por ejemplo en las referencias Giusti (1984) (parcialmente), Hudjaev & Vol'pert (1985) (parcialmente), Giaquinta, Modica & Souček (1998) y es la siguiente

• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$Identifica el espacio de funciones de variación acotada globalmente.
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )}$Identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada.

La segunda, que se adopta en las referencias Vol'pert (1967) y Maz'ya (1985) (parcialmente), es la siguiente:

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )}$Identifica el espacio de funciones de variación acotada globalmente.
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$Identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada.

En lo sucesivo, se considerarán únicamente las propiedades comunes a las funciones de una variable y a las funciones de varias variables, y se realizarán demostraciones sólo para funciones de varias variables, ya que la demostración para el caso de una variable es una adaptación directa del caso de varias variables: además, en cada sección se indicará si la propiedad es compartida también por funciones de variación localmente acotada o no. Se utilizan ampliamente las referencias (Giusti 1984, pp. 7-9), (Hudjaev & Vol'pert 1985) y (Màlek et al. 1996).

En el caso de una variable, la afirmación es clara: para cada punto del intervalo de definición de la función , cualquiera de las dos afirmaciones siguientes es verdadera ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

mientras que ambos límites existen y son finitos. En el caso de funciones de varias variables, hay algunas premisas que entender: en primer lugar, existe un continuo de direcciones a lo largo de las cuales es posible acercarse a un punto dado perteneciente al dominio ⊂ . Es necesario precisar un concepto adecuado de límite : eligiendo un vector unitario es posible dividir en dos conjuntos ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

Entonces, para cada punto perteneciente al dominio de la función BV , sólo una de las dos afirmaciones siguientes es verdadera ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

o pertenece a un subconjunto de los que tienen una medida de Hausdorff de dimensión cero . Las cantidades ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

se llaman límites aproximados de la función BV en el punto . ${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{0}}$

La funcional es semicontinua inferior : para ver esto, elija una secuencia de Cauchy de funciones BV que convergen a . Entonces, dado que todas las funciones de la secuencia y su función límite son integrables y por la definición de límite inferior${\displaystyle V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}}$

Ahora, considerando el supremo en el conjunto de funciones tales que entonces la siguiente desigualdad es verdadera ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

que es exactamente la definición de semicontinuidad inferior .

Por definición es un subconjunto de , mientras que la linealidad se desprende de las propiedades de linealidad de la integral definitoria , es decir ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

para todos por lo tanto para todos , y ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

para todos , por lo tanto para todos , y todos . Las propiedades del espacio vectorial demostradas implican que es un subespacio vectorial de . Consideremos ahora la función definida como ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

donde es la norma usual : es fácil demostrar que esta es una norma en . Para ver que es completa respecto de ella, es decir, es un espacio de Banach , considere una sucesión de Cauchy en . Por definición, también es una sucesión de Cauchy en y, por lo tanto, tiene un límite en : dado que está acotada en para cada , entonces por semicontinuidad inferior de la variación , por lo tanto es una función BV. Finalmente, nuevamente por semicontinuidad inferior, eligiendo un número positivo pequeño arbitrario${\displaystyle \|\;\|_{L^{1}}}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty }$${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

De esto deducimos que es continua porque es una norma. ${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$

Para ver esto, basta considerar el siguiente ejemplo perteneciente al espacio : ^[6] para cada 0 <  α  < 1 definamos ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

como función característica del intervalo cerrado por la izquierda . Entonces, eligiendo de manera que se cumpla la siguiente relación: ${\displaystyle [\alpha ,1]}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,1]}$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2}$

Ahora bien, para demostrar que todo subconjunto denso de no puede ser contable , es suficiente ver que para cada es posible construir las bolas${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}}$

Obviamente, esas bolas son disjuntas por pares y también son una familia indexada de conjuntos cuyo conjunto índice es . Esto implica que esta familia tiene la cardinalidad del continuo : ahora, dado que cada subconjunto denso de debe tener al menos un punto dentro de cada miembro de esta familia, su cardinalidad es al menos la del continuo y, por lo tanto, no puede ser un subconjunto contable. ^[7] Obviamente, este ejemplo se puede extender a dimensiones superiores y, dado que solo involucra propiedades locales , implica que la misma propiedad es verdadera también para . ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$${\displaystyle \operatorname {BV} _{loc}}$

Las reglas de cadena para funciones no suaves son muy importantes en matemáticas y física matemática , ya que existen varios modelos físicos importantes cuyos comportamientos se describen mediante funciones o funcionales con un grado muy limitado de suavidad . La siguiente regla de cadena se demuestra en el artículo (Vol'pert 1967, p. 248). Nótese que todas las derivadas parciales deben interpretarse en un sentido generalizado, es decir, como derivadas generalizadas .

Teorema . Sea una función de clase (es decir, una función continua y diferenciable que tiene derivadas continuas ) y sea una función en con siendo un subconjunto abierto de . Entonces y ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

donde es el valor medio de la función en el punto , definido como ${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso han encontrado una fórmula de regla de la cadena más general para las funciones continuas de Lipschitz , que se publicó en el artículo (Ambrosio & Dal Maso 1990). Sin embargo, incluso esta fórmula tiene consecuencias directas muy importantes: al utilizar en lugar de , donde también es una función 'BV' y elegir , la fórmula anterior da la regla de Leibniz para las funciones 'BV' ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle f((u,v))=uv}$

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

Esto implica que el producto de dos funciones de variación acotada es nuevamente una función de variación acotada , por lo tanto es un álgebra . ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

Esta propiedad se deriva directamente del hecho de que es un espacio de Banach y también un álgebra asociativa : esto implica que si y son secuencias de Cauchy de funciones BV que convergen respectivamente a funciones y en , entonces ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle \{u_{n}\}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}vu_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\\v_{n}u{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}vu\end{matrix}}\quad \Longleftrightarrow \quad vu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

Por lo tanto, el producto ordinario de funciones es continuo con respecto a cada argumento, lo que hace de este espacio de funciones un álgebra de Banach . ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

Es posible generalizar la noción anterior de variación total de modo que las diferentes variaciones se ponderen de manera diferente. Más precisamente, sea cualquier función creciente tal que (la función de ponderación ) y sea una función del intervalo que toma valores en un espacio vectorial normalizado . Entonces la -variación de sobre se define como ${\displaystyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow X}$ ${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,T]}$

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

donde, como es habitual, se toma el supremo sobre todas las particiones finitas del intervalo , es decir, todos los conjuntos finitos de números reales tales que ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

La noción original de variación considerada anteriormente es el caso especial de -variación para la cual la función de peso es la función identidad : por lo tanto, se dice que una función integrable es una función BV ponderada (de peso ) si y solo si su -variación es finita. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

El espacio es un espacio vectorial topológico con respecto a la norma.${\displaystyle \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)}$

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

donde denota la norma suprema usual de . Las funciones BV ponderadas fueron introducidas y estudiadas en su totalidad por Władysław Orlicz y Julian Musielak en el artículo Musielak & Orlicz 1959: Laurence Chisholm Young estudió anteriormente el caso donde es un entero positivo. ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$${\displaystyle p}$

Las funciones SBV, es decir, funciones especiales de variación acotada, fueron introducidas por Luigi Ambrosio y Ennio De Giorgi en el artículo (Ambrosio y De Giorgi 1988), que trata de problemas variacionales de discontinuidad libre : dado un subconjunto abierto de , el espacio es un subespacio lineal propio de , ya que el gradiente débil de cada función que le pertenece consiste precisamente en la suma de un soporte - dimensional y una medida de soporte - dimensional y ningún término de dimensión intermedia , como se ve en la siguiente definición. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {SBV} (\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Definición . Dada una función localmente integrable , entonces si y sólo si ${\displaystyle u}$${\displaystyle u\in \operatorname {SBV} (\Omega )}$

1. Existen dos funciones de Borel y de dominio y codominio tales que ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. Para todas las funciones vectoriales continuamente diferenciables de soporte compacto contenidas en , es decir para todas se cumple la siguiente fórmula: ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

donde es la medida de Hausdorff -dimensional . ${\displaystyle H^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

Se pueden encontrar detalles sobre las propiedades de las funciones SBV en los trabajos citados en la sección de bibliografía: en particular, el artículo (De Giorgi 1992) contiene una bibliografía útil .

Como ejemplos particulares de espacios de Banach , Dunford y Schwartz (1958, Capítulo IV) consideran espacios de sucesiones de variación acotada , además de los espacios de funciones de variación acotada. La variación total de una sucesión x  = ( x _i ) de números reales o complejos se define por

${\displaystyle \operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

El espacio de todas las sucesiones de variación total finita se denota por BV. La norma en BV está dada por

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con esta norma, el espacio BV es un espacio de Banach que es isomorfo a . ${\displaystyle \ell _{1}}$

La variación total en sí misma define una norma en un cierto subespacio de BV, denotado por BV ₀ , que consiste en secuencias x = ( x _i ) para las cuales

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

La norma en BV ₀ se denota

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con respecto a esta norma, BV ₀ también se convierte en un espacio de Banach, que es isomorfo e isométrico a (aunque no de forma natural). ${\displaystyle \ell _{1}}$

Se dice que una medida con signo (o compleja ) en un espacio medible es de variación acotada si su variación total es acotada: véase Halmos (1950, pág. 123), Kolmogorov y Fomin (1969, pág. 346) o la entrada " Variación total " para más detalles. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$

Como se mencionó en la introducción, dos grandes clases de ejemplos de funciones BV son las funciones monótonas y las funciones absolutamente continuas. Para un ejemplo negativo: la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

no tiene una variación limitada en el intervalo${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Aunque es más difícil de ver, la función continua

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

tampoco tiene una variación limitada en el intervalo . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$

Al mismo tiempo, la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

tiene una variación limitada en el intervalo . Sin embargo, las tres funciones tienen una variación limitada en cada intervalo con . ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a>0}$

Toda función monótona y acotada es de variación acotada. Para una función de este tipo en el intervalo y cualquier partición de este intervalo, se puede ver que ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle P=\{x_{0},\ldots ,x_{n_{P}}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|=|f(b)-f(a)|}$

del hecho de que la suma de la izquierda es telescópica . De esto se deduce que para tal , ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|.}$

En particular, la función de Cantor monótona es un ejemplo bien conocido de una función de variación acotada que no es absolutamente continua . ^[8]

El espacio de Sobolev es un subconjunto propio de . De hecho, para cada en es posible elegir una medida (donde es la medida de Lebesgue en ) tal que la igualdad ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu :=\nabla u{\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}}$

se cumple, ya que no es más que la definición de derivada débil y, por lo tanto, es verdadera. Se puede encontrar fácilmente un ejemplo de una función BV que no sea : en dimensión uno, cualquier función escalonada con un salto no trivial servirá. ${\displaystyle W^{1,1}}$

Las funciones de variación acotada se han estudiado en relación con el conjunto de discontinuidades de funciones y la diferenciabilidad de funciones reales, y los siguientes resultados son bien conocidos. Si es una función real de variación acotada en un intervalo , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

• ${\displaystyle f}$es continua excepto como máximo en un conjunto contable ;
• ${\displaystyle f}$tiene límites unilaterales en todas partes (límites desde la izquierda en todas partes en , y desde la derecha en todas partes en  ;${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle [a,b)}$
• La derivada existe casi en todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida cero ).${\displaystyle f'(x)}$

Para funciones reales de varias variables reales

• La función característica de un conjunto de Caccioppoli es una función BV: Las funciones BV se encuentran en la base de la teoría moderna de perímetros.
• Las superficies mínimas son gráficos de funciones BV: en este contexto, ver referencia (Giusti 1984).

La capacidad de las funciones BV para tratar discontinuidades ha hecho que su uso se haya generalizado en las ciencias aplicadas: las soluciones de problemas de mecánica, física y cinética química suelen representarse mediante funciones de variación acotada. El libro (Hudjaev y Vol'pert 1985) detalla un conjunto muy amplio de aplicaciones de las funciones BV en la física matemática. También hay algunas aplicaciones modernas que merecen una breve descripción.

• La funcional Mumford-Shah : el problema de segmentación de una imagen bidimensional, es decir, el problema de reproducción fiel de contornos y escalas de grises, es equivalente a la minimización de dicha funcional .
• Eliminación de ruido por variación total

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variación de una función", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Función BV". PlanetMath ..
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Variación limitada". MathWorld .
• Función de variación acotada en Enciclopedia de Matemáticas

• Página web de Luigi Ambrosio en la Escuela Normal Superior de Pisa . Página web académica (con preprints y publicaciones) de uno de los autores que contribuyeron a la teoría y aplicaciones de las funciones BV.
• Grupo de Investigación en Cálculo de Variaciones y Teoría Geométrica de la Medida, Scuola Normale Superiore di Pisa .

Este artículo incorpora material de la función BV en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .