Medida compleja

En matemáticas , específicamente en teoría de la medida , una medida compleja generaliza el concepto de medida al permitirle tener valores complejos . ^{[ 1 ]} En otras palabras, se permiten conjuntos cuyo tamaño (longitud, área, volumen) es un número complejo .

Formalmente, una medida compleja${\displaystyle \mu }$en un espacio mensurable${\displaystyle (X,\Sigma )}$es una función de valor complejo

${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to \mathbb {C} }

que es sigma-aditivo . En otras palabras, para cualquier secuencia${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de conjuntos disjuntos pertenecientes a${\displaystyle \Sigma }$, uno tiene

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C}.}$

Como${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$para cualquier permutación ( biyección )${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } , se deduce que${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$converge incondicionalmente (por lo tanto, dado que${\displaystyle \mathbb {C} }$es de dimensión finita,${\displaystyle \mu }$converge absolutamente ).

Se puede definir la integral de una función medible de valor complejo con respecto a una medida compleja de la misma manera que la integral de Lebesgue de una función medible de valor real con respecto a una medida no negativa , aproximando una función medible con funciones simples . ^{[ 2 ]} Al igual que en el caso de la integración ordinaria, esta integral más general podría no existir, o su valor podría ser infinito (el infinito complejo ).

Otro enfoque consiste en no desarrollar una teoría de la integración desde cero, sino utilizar el concepto ya disponible de integral de una función de valor real con respecto a una medida no negativa. ^{[ 3 ]} Para ello, es una comprobación rápida que las partes real e imaginaria μ ₁ y μ ₂ de una medida compleja μ son medidas con signo de valor finito . Se puede aplicar la descomposición de Hahn-Jordan a estas medidas para dividirlas como

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

y

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

donde μ ₁ ⁺ , μ ₁ ⁻ , μ ₂ ⁺ , μ ₂ ⁻ son medidas no negativas de valor finito (que son únicas en algún sentido). Entonces, para una función medible f que por el momento es de valor real , se puede definir

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

siempre que la expresión del lado derecho esté definida, es decir, que existan las cuatro integrales y al sumarlas no se encuentre la indeterminada ∞ − ∞ . ^{[ 3 ]}

Ahora, dada una función medible de valor complejo , se pueden integrar sus componentes real e imaginaria por separado como se ilustra arriba y definir, como era de esperar,

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}$

Para una medida compleja μ , se define su variación , o valor absoluto , | μ | mediante la fórmula

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}$

donde A está en Σ y el supremo recorre todas las secuencias de conjuntos disjuntos ( A _n ) _n cuya unión es A . Tomando solo particiones finitas del conjunto A en subconjuntos medibles , se obtiene una definición equivalente.

Resulta que | μ | es una medida finita no negativa. De la misma manera que un número complejo puede representarse en forma polar , se tiene una descomposición polar para una medida compleja: Existe una función medible θ con valores reales tal que

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}$

significado

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

para cualquier función medible absolutamente integrable f , es decir, f que satisfaga

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}$

Se puede utilizar el teorema de Radon-Nikodym para demostrar que la variación es una medida y la existencia de la descomposición polar .

La suma de dos medidas complejas es una medida compleja, al igual que el producto de una medida compleja por un número complejo. Es decir, el conjunto de todas las medidas complejas en un espacio de medidas ( X , Σ ) forma un espacio vectorial sobre los números complejos. Además, la variación total${\displaystyle \|\cdot \|}$definido como

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

es una norma con respecto a la cual el espacio de medidas complejas es un espacio de Banach .

• Teorema de representación de Riesz
• Medida firmada
• Medida vectorial

• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real. Técnicas modernas y sus aplicaciones . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda edición de  la edición original de 1984). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-31716-0. SEÑOR 1681462 . Zbl 0924.28001 .  
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (Tercera edición de  la edición original de 1966). Nueva York: McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-054234-1. SEÑOR 0924157 . Zbl 0925.00005 .  

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