Medida vectorial

En matemáticas , una medida vectorial es una función definida sobre una familia de conjuntos que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. Es una generalización del concepto de medida finita , que solo toma valores reales no negativos .

Dado un campo de conjuntos${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$y un espacio Banach${\displaystyle X,}$una medida vectorial finitamente aditiva (o medida , para abreviar) es una función${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X} tal que para cualesquiera dos conjuntos disjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$uno tiene $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$

Una medida vectorial${\displaystyle \mu }$Se denomina aditivo numerable si para cualquier secuencia${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$de conjuntos disjuntos en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que su unión sea en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sostiene que $${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$$ con la serie del lado derecho convergente en la norma del espacio de Banach${\displaystyle X.}$

Se puede demostrar que una medida vectorial aditiva${\displaystyle \mu }$ es numerablemente aditivo si y solo si para cualquier secuencia${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$como se mencionó anteriormente, uno tiene

dónde${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma en${\displaystyle X.}$

Las medidas vectoriales numerablemente aditivas definidas en sigma-álgebras son más generales que las medidas finitas , las medidas finitas con signo y las medidas complejas , que son funciones numerablemente aditivas que toman valores respectivamente en el intervalo real.${\displaystyle [0,\infty ),}$el conjunto de los números reales y el conjunto de los números complejos .

Consideremos el cuerpo de conjuntos formado por el intervalo${\displaystyle [0,1]}$junto con la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de todos los conjuntos medibles de Lebesgue contenidos en este intervalo. Para cualquier conjunto de este tipo${\displaystyle A,}$definir $${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$$ dónde${\displaystyle \chi _{A}}$es la función indicadora de${\displaystyle A.}$Dependiendo de dónde${\displaystyle \mu }$Cuando se declara que toma valores, se observan dos resultados diferentes.

• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$hacia${\displaystyle L^{p}}$-espacio${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$es una medida vectorial que no es numerablemente aditiva.
• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$hacia${\displaystyle L^{p}}$-espacio${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$es una medida vectorial numerable-aditiva.

Ambas afirmaciones se derivan fácilmente del criterio ( * ) mencionado anteriormente.

Dado un vector de medidas${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to X,} la variación${\displaystyle |\mu |}$de${\displaystyle \mu }$se define como $${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$$ donde el supremo se toma sobre todas las particiones$${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$$ de${\displaystyle A}$en un número finito de conjuntos disjuntos, para todo${\displaystyle A}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$Aquí,${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma en${\displaystyle X.}$

La variación de${\displaystyle \mu }$es una función finitamente aditiva que toma valores en${\displaystyle [0,\infty ].}$Sostiene que $${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$$ para cualquier${\displaystyle A}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$Si${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$es finito, la medida${\displaystyle \mu }$Se dice que es de variación acotada . Se puede demostrar que si${\displaystyle \mu }$es una medida vectorial de variación acotada, entonces${\displaystyle \mu }$es numerablemente aditivo si y solo si${\displaystyle |\mu |}$es numerablemente aditivo.

En la teoría de medidas vectoriales, el teorema de Lyapunov establece que el rango de una medida vectorial ( no atómica ) de dimensión finita es cerrado y convexo . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} De hecho, el rango de una medida vectorial no atómica es un zonoid (el conjunto cerrado y convexo que es el límite de una sucesión convergente de zonotopos ). ^{[ 2 ]} Se utiliza en economía , ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} en la teoría de control ( "bang - bang" ) , ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 7 ] [ 8 ]} y en teoría estadística . ^{[ 8 ]} El teorema de Lyapunov se ha demostrado utilizando el lema de Shapley-Folkman , ^{[ 9 ]} que se ha considerado un análogo discreto del teorema de Lyapunov. ^{[ 8 ] [ 10 ] [ 11 ]} 

• función medible de Bochner
• Integral de Bochner : un concepto matemático. 
• Espacio de Bochner – Tipo de espacio topológico 
• Medida compleja : Medida con valores complejos 
• Medida con signo : noción generalizada de medida en matemáticas. 
• Funciones vectoriales : función definida en un espacio vectorial; normalmente un vector real o complejo. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Función débilmente medible

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Teoría de la medida (edición reimpresa  ). Boston – Basilea – Stuttgart: Birkhäuser Verlag . pp.  IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001 . 
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J. Jr. (1977). Medidas vectoriales . Encuestas Matemáticas. vol.  15. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs.  xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Kluvánek, I. , Knowles, G., Medidas vectoriales y sistemas de control , North-Holland Mathematics Studies 20 , Ámsterdam, 1976. 
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, W. (1973). Análisis funcional . Nueva York: McGraw-Hill. pág . 114. ISBN  9780070542259.