función medible de Bochner

En matemáticas – específicamente, en análisis funcional – una función medible de Bochner que toma valores en un espacio de Banach es una función que es casi en todas partes igual al límite de una secuencia de funciones medibles con valores numerables, es decir,

${\displaystyle f(t)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(t){\text{ para casi todo }}t,\,}$

donde las funciones${\displaystyle f_{n}}$cada uno tiene un rango contable y para el cual la preimagen${\displaystyle f_{n}^{-1}(\{x\})}$es medible para cada elemento x . El concepto recibe su nombre de Salomon Bochner . 

Las funciones medibles de Bochner a veces se denominan funciones fuertemente medibles .${\displaystyle \mu }$-medible o simplemente medible (o uniformemente medible en caso de que el espacio de Banach sea el espacio de operadores lineales continuos entre espacios de Banach).

La relación entre mensurabilidad y mensurabilidad débil viene dada por el siguiente resultado, conocido como el teorema de Pettis o teorema de mensurabilidad de Pettis .

Una función f es casi seguramente separablemente valorada (o esencialmente separablemente valorada ) si existe un subconjunto N ⊆ X con μ ( N ) = 0 tal que f ( X \ N ) ⊆ B es separable.        

Una función f  : X → B definida en un espacio de medida ( X , Σ , μ ) y que toma valores en un espacio de Banach B es (fuertemente) medible (con respecto a Σ y el álgebra de Borel en B ) si y solo si es débilmente medible y casi seguramente separablemente valorada.     

En el caso de que B sea separable, puesto que cualquier subconjunto de un espacio de Banach separable es también separable, se puede considerar que N es vacío, y de ello se deduce que las nociones de mensurabilidad débil y fuerte coinciden cuando B es separable.

• Integral de Bochner : un concepto matemático. 
• Espacio de Bochner – Tipo de espacio topológico 
• Función medible – Tipo de función matemática 
• Espacio mensurable : objeto básico en la teoría de la medida; conjunto y sigma-álgebra. 
• Pettis integral
• Medida vectorial : generalización de la medida finita a espacios de Banach. 
• Función débilmente medible

• Showalter, Ralph E. (1997). «Teorema III.1.1». Operadores monótonos en espacios de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 103. ISBN  0-8218-0500-2. MR 1422252 . .