Espacio Bochner

En matemáticas , los espacios de Bochner son una generalización del concepto de${\displaystyle L^{p}}$espacios a funciones cuyos valores se encuentran en un espacio de Banach que no es necesariamente el espacio${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$de números reales o complejos.

El espacio${\displaystyle L^{p}(X)}$consta de (clases de equivalencia de) todas las funciones medibles de Bochner${\displaystyle f}$con valores en el espacio de Banach${\displaystyle X}$cuya norma${\displaystyle \|f\|_{X}}$se encuentra en el estándar${\displaystyle L^{p}}$espacio. Por lo tanto, si${\displaystyle X}$es el conjunto de números complejos, es el estándar de Lebesgue${\displaystyle L^{p}}$espacio.

Casi todos los resultados estándar en${\displaystyle L^{p}}$Los espacios también se aplican a los espacios de Bochner; en particular, los espacios de Bochner.${\displaystyle L^{p}(X)}$son espacios Banach para${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

Los espacios de Bochner reciben su nombre del matemático Salomon Bochner .

Dado un espacio de medida${\displaystyle (T,\Sigma$ ;\mu ),} un espacio de Banach${\displaystyle \left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)}$y${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$el espacio Bochner${\displaystyle L^{p}(T;X)}$se define como el cociente de Kolmogorov (por igualdad casi en todas partes ) del espacio de todas las funciones medibles de Bochner.${\displaystyle u:T\to X}$de tal manera que la norma correspondiente sea finita: $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ para }}1\leq p<\infty ,}$$$${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty .}$$

En otras palabras, como es habitual en el estudio de${\displaystyle L^{p}}$espacios,${\displaystyle L^{p}(T;X)}$es un espacio de clases de equivalencia de funciones, donde dos funciones se definen como equivalentes si son iguales en todas partes excepto en una${\displaystyle \mu }$- medir el subconjunto cero de${\displaystyle T.}$Como también es habitual en el estudio de tales espacios, es habitual abusar de la notación y hablar de una "función" en${\displaystyle L^{p}(T;X)}$en lugar de una clase de equivalencia (que sería técnicamente más correcto).

Los espacios de Bochner se utilizan a menudo en el enfoque de análisis funcional para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo, por ejemplo, la ecuación del calor : si la temperatura${\displaystyle g(t,x)}$es una función escalar del tiempo y el espacio, se puede escribir${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$hacer${\displaystyle f}$una familia${\displaystyle f(t)}$(parametrizadas por el tiempo) de funciones del espacio, posiblemente en algún espacio de Bochner.

• Integral de Bochner : un concepto matemático. 
• Medida vectorial : generalización de la medida finita a espacios de Banach. 
• Funciones vectoriales : función definida en un espacio vectorial; normalmente un espacio vectorial real o complejo. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Función débilmente medible

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.