Derivada débil

En matemáticas , una derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función ( derivada fuerte ) para funciones que no se suponen diferenciables , sino sólo integrables , es decir, que se encuentran en el espacio L ^p . $Estilo de visualización L^{1}([a,b])}$

El método de integración por partes sostiene que para funciones diferenciables y tenemos ${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \varphi}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Una función u ' que es la derivada débil de u se define esencialmente por el requisito de que esta ecuación debe cumplirse para todas las funciones infinitamente diferenciables que se desvanecen en los puntos límite ( ). ${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Sea una función en el espacio de Lebesgue . Decimos que es una derivada débil de si ${\estilo de visualización u}$ $Estilo de visualización L^{1}([a,b])}$${\estilo de visualización v}$$Estilo de visualización L^{1}([a,b])}$${\estilo de visualización u}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

para todas las funciones infinitamente diferenciables con . ${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Generalizando a dimensiones, si y están en el espacio de funciones localmente integrables para algún conjunto abierto , y si es un multiíndice , decimos que es la derivada débil de si ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ ${\displaystyle U\subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$${\estilo de visualización u}$

${\displaystyle \int _ {U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _ {U}v\varphi,}$

para todo , es decir, para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en . Aquí se define como ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$$${\displaystyle D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

Si tiene una derivada débil, a menudo se escribe así, ya que las derivadas débiles son únicas (al menos, hasta un conjunto de medida cero , ver más abajo). ${\estilo de visualización u}$${\displaystyle D^{\alpha }u}$

• La función de valor absoluto , que no es diferenciable en tiene una derivada débil conocida como función de signo , y dada por Esta no es la única derivada débil para u : cualquier w que sea igual a v casi en todas partes también es una derivada débil para u . Por ejemplo, la definición de v (0) anterior podría reemplazarse con cualquier número real deseado. Por lo general, la existencia de múltiples soluciones no es un problema, ya que las funciones se consideran equivalentes en la teoría de los espacios L ^p y los espacios de Sobolev si son iguales casi en todas partes.${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|}$${\estilo de visualización t=0}$${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$$${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\text{si }}t>0;\\[6pt]0&{\text{si }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{si }}t<0.\end{cases}}}$$
• La función característica de los números racionales no es diferenciable en ningún punto, pero tiene una derivada débil. Como la medida de Lebesgue de los números racionales es cero, entonces es una derivada débil de . Nótese que esto concuerda con nuestra intuición, ya que cuando se considera como miembro de un espacio Lp, se identifica con la función cero.${\displaystyle 1_{\mathbb {Q}}}$$${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$$${\displaystyle v(t)=0}$${\displaystyle 1_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle 1_{\mathbb {Q}}}$
• La función de Cantor c no tiene una derivada débil, a pesar de ser diferenciable casi en todas partes. Esto se debe a que cualquier derivada débil de c tendría que ser igual casi en todas partes a la derivada clásica de c , que es cero casi en todas partes. Pero la función cero no es una derivada débil de c , como se puede ver al comparar con una función de prueba apropiada . Más teóricamente, c no tiene una derivada débil porque su derivada distribucional , es decir, la distribución de Cantor , es una medida singular y, por lo tanto, no puede representarse mediante una función.${\estilo de visualización \varphi}$

Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales en casi todas partes . Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales en casi todas partes, entonces la derivada débil es única.

Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, entonces su derivada débil es idéntica (en el sentido dado anteriormente) a su derivada convencional (fuerte). Por lo tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para las derivadas de sumas y productos de funciones también son válidas para la derivada débil.

Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev , que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional .

• Subderivada
• Lema de Weyl (ecuación de Laplace)

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Berlín: Springer. p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: American Mathematical Society. pág. 242. ISBN. 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Nueva York: Springer. p. 53. ISBN 0-387-95449-X.