Conjunto nulo

En análisis matemático , un conjunto nulo es un conjunto de números reales medible según Lebesgue que tiene medida cero . Esto se puede caracterizar como un conjunto que puede cubrirse mediante una unión numerable de intervalos de longitud total arbitrariamente pequeña.

Un conjunto nulo no debe confundirse con el conjunto vacío, tal como se define en la teoría de conjuntos . Si bien el conjunto vacío tiene medida de Lebesgue cero, también existen conjuntos no vacíos que son nulos. Por ejemplo, cualquier conjunto numerable no vacío de números reales tiene medida de Lebesgue cero y, por lo tanto, es nulo.

De manera más general, en un espacio de medidas dado${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$un conjunto nulo es un conjunto${\displaystyle S\in \Sigma }$de tal manera que${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Todo subconjunto finito o infinito numerable de los números reales .${\displaystyle \mathbb {R} }$es un conjunto vacío. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ , el conjunto de los números racionales ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$y el conjunto de números algebraicos${\displaystyle \mathbb {A} }$Todos son infinitos numerables y, por lo tanto, son conjuntos nulos cuando se consideran como subconjuntos de los números reales.

El conjunto de Cantor es un ejemplo de conjunto nulo no numerable. Es no numerable porque contiene todos los números reales entre 0 y 1 cuya expansión ternaria se puede escribir usando solo 0 y 2 (véase el argumento diagonal de Cantor ), y es nulo porque se construye comenzando con el intervalo cerrado de números reales de 0 a 1 y eliminando iterativamente un tercio del conjunto anterior, multiplicando así la longitud por 2/3 en cada paso.

El conjunto de los números de Liouville es otro ejemplo de un conjunto nulo no numerable.

La medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud , área o volumen a subconjuntos del espacio euclidiano .

Un subconjunto${\displaystyle N}$de la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene medida de Lebesgue nula y se considera un conjunto nulo (también conocido como conjunto de contenido cero) en${\displaystyle \mathbb {R} }$Si y solo si:

Dado cualquier número positivo${\displaystyle \varepsilon ,}$Hay una secuencia${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$de intervalos en${\displaystyle \mathbb {R} }$(donde intervalo${\displaystyle I_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$tiene longitud${\displaystyle \operatorname {length} (I_{n})=b_{n}-a_{n}}$) tal que${\displaystyle N}$está contenido en la unión de la${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$y la longitud total de la unión es menor que${\displaystyle \varepsilon$ ;} es decir, ^{[ 1 ]}$${\displaystyle N\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}\ ~{\textrm {y}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {longitud} (I_{n})<\varepsilon \,.}$$

(En la terminología del análisis matemático , esta definición requiere que haya una secuencia de cubiertas abiertas de${\displaystyle A}$para los cuales el límite de las longitudes de las cubiertas es cero.)

Esta condición puede generalizarse a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$usando${\displaystyle n}$- cubos en lugar de intervalos. De hecho, la idea puede tener sentido en cualquier variedad , incluso si no existe una medida de Lebesgue en ella.

Por ejemplo:

• Con respecto a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$Todos los conjuntos unitarios son nulos y, por lo tanto, todos los conjuntos numerables son nulos. En particular, el conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales es un conjunto nulo, a pesar de ser denso en${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• La construcción estándar del conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto nulo no numerable en${\displaystyle \mathbb {R}$ ;} sin embargo, son posibles otras construcciones que asignan al conjunto de Cantor cualquier medida.
• Todos los subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$cuya dimensión es menor que${\displaystyle n}$tienen medida de Lebesgue nula en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Por ejemplo, las líneas rectas o los círculos son conjuntos nulos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Lema de Sard : el conjunto de valores críticos de una función suave tiene medida cero.

Si${\displaystyle \lambda }$es la medida de Lebesgue para${\displaystyle \mathbb {R} }$y π es la medida de Lebesgue para${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, entonces la medida del producto${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$En términos de conjuntos nulos, la siguiente equivalencia ha sido denominada teorema de Fubini : ^{[ 2 ]}

• Para${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$y${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$$${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

Dejar${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ser un espacio de medida . Tenemos:

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(por definición de${\displaystyle \mu }$).
• Cualquier unión numerable de conjuntos nulos es en sí misma un conjunto nulo (por subaditividad numerable de${\displaystyle \mu }$).
• Cualquier subconjunto (medible) de un conjunto nulo es en sí mismo un conjunto nulo (por monotonicidad de${\displaystyle \mu }$).

En conjunto, estos hechos demuestran que los conjuntos nulos de${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$formar un ideal 𝜎 del álgebra 𝜎${\displaystyle \Sigma }$. En consecuencia, los conjuntos nulos pueden interpretarse como conjuntos insignificantes , lo que da lugar a una noción teórica de la medida de " casi en todas partes ".

Los conjuntos nulos juegan un papel clave en la definición de la integral de Lebesgue : si las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son iguales excepto en un conjunto nulo, entonces${\displaystyle f}$es integrable si y solo si${\displaystyle g}$es, y sus integrales son iguales. Esto motiva la definición formal de${\displaystyle L^{p}}$espacios como conjuntos de clases de equivalencia de funciones que difieren solo en conjuntos nulos.

Una medida en la que todos los subconjuntos de conjuntos nulos son medibles es completa . Cualquier medida incompleta puede completarse para formar una medida completa afirmando que los subconjuntos de conjuntos nulos tienen medida cero. La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida completa; en algunas construcciones, se define como la completación de una medida de Borel incompleta .

En un espacio de Banach separable${\displaystyle (X,\|\cdot \|),}$La suma mueve cualquier subconjunto${\displaystyle A\subseteq X}$a los traductores${\displaystyle A+x}$para cualquier${\displaystyle x\in X.}$Cuando existe una medida de probabilidad μ en el σ-álgebra de subconjuntos de Borel de${\displaystyle X,}$de tal manera que para todos${\displaystyle x,}$${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$entonces${\displaystyle A}$es un conjunto nulo de Haar . ^{[ 3 ]}

El término se refiere a la invariancia nula de las medidas de traslaciones, asociándola con la invariancia completa que se encuentra con la medida de Haar .

Algunas propiedades algebraicas de los grupos topológicos se han relacionado con el tamaño de los subconjuntos y los conjuntos nulos de Haar. ^{[ 4 ]} Los conjuntos nulos de Haar se han utilizado en grupos polacos para demostrar que cuando A no es un conjunto pequeño, entonces${\displaystyle A^{-1}A}$contiene un entorno abierto del elemento identidad . ^{[ 5 ]} Esta propiedad recibe su nombre de Hugo Steinhaus, ya que es la conclusión del teorema de Steinhaus .

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• Jones, Frank (1993). Integración de Lebesgue en espacios euclidianos . Jones & Bartlett. pág.  107. ISBN 978-0-86720-203-8.
• Oxtoby, John C. (1971). Medida y categoría . Springer-Verlag. pág.  3. ISBN 978-0-387-05349-3.