Función débilmente medible

En matemáticas —específicamente en análisis funcional— una función débilmente medible que toma valores en un espacio de Banach es una función cuya composición con cualquier elemento del espacio dual es una función medible en el sentido usual (fuerte). Para espacios separables , las nociones de mensurabilidad débil y fuerte coinciden.

Si es un espacio medible y es un espacio de Banach sobre un cuerpo (que son los números reales o complejos ), entonces se dice que es débilmente medible si, para cada funcional lineal continuo, la función es una función medible con respecto a y el álgebra de Borel usual en${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:X\to B}$${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ f\colon X\to \mathbb {K} \quad {\text{ definido por }}\quad x\mapsto g(f(x))}$$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Una función medible en un espacio de probabilidad se denomina generalmente variable aleatoria (o vector aleatorio si toma valores en un espacio vectorial como el espacio de Banach ). Así, como caso especial de la definición anterior, si es un espacio de probabilidad, entonces una función se denomina variable aleatoria débil ( con valores en ) (o vector aleatorio débil ) si, para cada funcional lineal continuo la función es una variable aleatoria con valores en (es decir, función medible) en el sentido usual, con respecto a y el álgebra de Borel usual en .${\displaystyle B}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {P}})}$${\displaystyle Z:\Omega \a B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g:B\to \mathbb {K} ,}$$${\displaystyle g\circ Z\colon \Omega \to \mathbb {K} \quad {\text{ definido por }}\quad \omega \mapsto g(Z(\omega ))}$$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

La relación entre mensurabilidad y mensurabilidad débil viene dada por el siguiente resultado, conocido como el teorema de Pettis o teorema de mensurabilidad de Pettis .

Se dice que una función es casi seguramente separablemente valorada (o esencialmente separablemente valorada ) si existe un subconjunto tal que es separable. ${\displaystyle f}$${\displaystyle N\subsetequ X}$${\displaystyle \mu (N)=0}$${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq B}$

En el caso de que sea separable, puesto que cualquier subconjunto de un espacio de Banach separable es en sí mismo separable, se puede tomar lo anterior como vacío, y de ello se deduce que las nociones de mensurabilidad débil y fuerte coinciden cuando es separable. ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$

• función medible de Bochner
• Integral de Bochner  : un concepto matemático.
• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Pettis integral
• Medida vectorial  : generalización de la medida finita a espacios de Banach.

• Pettis, BJ (1938). "Sobre la integración en espacios vectoriales" . Trans. Amer. Math. Soc . 44 (2): 277– 304. doi : 10.2307/1989973 . ISSN  0002-9947 . MR  1501970 .
• Showalter, Ralph E. (1997). «Teorema III.1.1». Operadores monótonos en espacios de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. p.  103. ISBN 0-8218-0500-2. MR  1422252 .