Zonoid

En geometría convexa , un zonoides es un tipo de cuerpo convexo con simetría central .

Los zonoides tienen varias definiciones, equivalentes salvo traslaciones de las formas resultantes: ^{[ 1 ]}

• Un zonoid es una forma que puede aproximarse arbitrariamente cerca (en distancia de Hausdorff ) mediante un zonotopo , un politopo convexo formado a partir de la suma de Minkowski de un número finito de segmentos de línea. En particular, todo zonotopo es un zonoid. ^{[ 1 ]} Aproximar un zonoid dentro de la distancia de Hausdorff${\displaystyle \varepsilon }$requiere una serie de segmentos que (para fijos)${\displaystyle \varepsilon }$) es casi lineal en la dimensión, o lineal con algunas suposiciones adicionales sobre el zonoides. ^{[ 2 ]}
• Un zonoid es el rango de una función de conjunto sigma-aditiva vectorial libre de átomos . Aquí, una función de una familia de conjuntos a vectores es sigma-aditiva cuando la familia es cerrada bajo uniones disjuntas numerables, y cuando el valor de la función en una unión de conjuntos es igual a la suma de sus valores en los conjuntos. Es libre de átomos cuando todo conjunto cuyo valor de función es distinto de cero tiene un subconjunto propio cuyo valor permanece distinto de cero. Para esta definición, las formas resultantes contienen el origen, pero pueden trasladarse arbitrariamente siempre que contengan el origen. ^{[ 1 ]} La afirmación de que las formas descritas de esta manera son cerradas y convexas se conoce como el teorema de Lyapunov .
• Un zonoid es la envoltura convexa del rango de una función de conjunto sigma-aditiva con valores vectoriales . Para esta definición, no se requiere que esté libre de átomos. ^{[ 1 ]}
• Un zonoid es el cuerpo polar de una sección central de la bola unitaria de${\displaystyle L^{1}([0,1])}$, el espacio de funciones integrables de Lebesgue en el intervalo unitario. Aquí, una sección central es la intersección de esta bola con un subespacio de dimensión finita de${\displaystyle L^{1}([0,1])}$Esta definición produce zonoides cuyo centro de simetría está en el origen. ^{[ 1 ]}
• Un zonoides es un conjunto convexo cuyo cuerpo polar es un cuerpo de proyección . ^{[ 1 ]}

Toda figura convexa bidimensional con simetría central es un zonoide. ^{[ 3 ]} En dimensiones superiores, la esfera unitaria euclidiana es un zonoide. ^{[ 1 ]} Un politopo es un zonoide si y solo si es un zonotopo. ^{[ 2 ]} Así, por ejemplo, el octaedro regular es un ejemplo de figura convexa con simetría central que no es un zonoide. ^{[ 1 ]}

El sólido de revolución de la parte positiva de una curva sinusoidal es un zonoide, obtenido como límite de zonohedros cuyos segmentos generadores son simétricos entre sí con respecto a rotaciones alrededor de un eje común. ^{[ 4 ]} Los biconos proporcionan ejemplos de sólidos de revolución con simetría central que no son zonoides. ^{[ 1 ]}

Los zonoides son cerrados bajo transformaciones afines , ^{[ 2 ]} bajo proyección paralela , ^{[ 5 ]} y bajo sumas de Minkowski finitas. Todo zonoid que no sea un segmento de línea puede descomponerse como una suma de Minkowski de otros zonoides que no tienen la misma forma que el zonoid dado. (Esto significa que no son traslaciones de homotetas del zonoid dado). ^{[ 1 ]}

Los zonotopos pueden caracterizarse como politopos que poseen pares de caras opuestas con simetría central, y el problema del zonoides consiste en encontrar una caracterización análoga de los zonoides. Ethan Bolker atribuye la formulación de este problema a una publicación de Wilhelm Blaschke de 1916. ^{[ 3 ]}

• Goodey, Paul; Weil, Wolfgang (1993), "Zonoides y generalizaciones", en Gruber, Peter M.; Wills, Jörg M. (eds.), Manual de geometría convexa , vol.  B, Elsevier, pp. 1297–1326 , doi : 10.1016/b978-0-444-89597-4.50020-2 , ISBN  9780444895974
• Schneider, Rolf; Weil, Wolfgang (1983), "Zonoides y temas relacionados", en Gruber, Peter M.; Wills, Jörg M. (eds.), Convexidad y sus aplicaciones , Basilea: Birkhäuser, pp. 296–317 , doi : 10.1007/978-3-0348-5858-8_13 , ISBN  9783034858588