Rango de una función

En matemáticas , el rango de una función puede referirse tanto al codominio de la función como a la imagen de la función. En algunos casos, el codominio y la imagen de una función son el mismo conjunto; dicha función se denomina sobreyectiva o sobreyectiva . Para cualquier función no sobreyectiva${\displaystyle f:X\to Y,}$el codominio${\displaystyle Y}$y la imagen${\displaystyle {\tilde {Y}}}$son diferentes; sin embargo, se puede definir una nueva función con la imagen de la función original como su codominio,${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$dónde${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$Esta nueva función es sobreyectiva.

Dados dos conjuntos X e Y , una relación binaria f entre X e Y es una función (de X a Y ) si para cada elemento x en X existe exactamente un elemento y en Y tal que f relaciona x con y . Los conjuntos X e Y se denominan dominio y codominio de f , respectivamente. La imagen de la función f es el subconjunto de Y que consta únicamente de aquellos elementos y de Y tales que existe al menos un elemento x en X con f ( x ) = y .

Dado que el término «rango» puede tener diferentes significados, se considera una buena práctica definirlo la primera vez que se utiliza en un libro de texto o artículo. Los libros más antiguos, cuando usan la palabra «rango», tienden a usarla para referirse a lo que ahora se llama codominio . ^{[ 1 ]} Los libros más modernos, si es que usan la palabra «rango», generalmente la usan para referirse a lo que ahora se llama imagen . ^{[ 2 ]} Para evitar confusiones, algunos libros modernos no usan la palabra «rango». ^{[ 3 ]}

Dada una función

$${\displaystyle f\colon X\to Y}$$

con dominio${\displaystyle X}$, el rango de${\displaystyle f}$, a veces denotado${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$o${\displaystyle \operatorname {Rango} (f)}$, ^{[ 4 ]} puede referirse al codominio o al conjunto objetivo${\displaystyle Y}$(es decir, el conjunto en el que se encuentra toda la salida de${\displaystyle f}$está obligado a caer), o a${\displaystyle f(X)}$, la imagen del dominio de${\displaystyle f}$bajo${\displaystyle f}$(es decir, el subconjunto de${\displaystyle Y}$compuesto por todas las salidas reales de${\displaystyle f}$). La imagen de una función es siempre un subconjunto del codominio de la función. ^{[ 5 ]}

Como ejemplo de los dos usos diferentes, consideremos la función${\displaystyle f(x)=x^{2}}$tal como se utiliza en el análisis real (es decir, como una función que recibe como entrada un número real y devuelve su cuadrado). En este caso, su codominio es el conjunto de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, desde${\displaystyle x^{2}}$nunca es negativo si${\displaystyle x}$es real. Para esta función, si usamos "rango" para referirnos al codominio , se refiere a${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$; si usamos "rango" para referirnos a la imagen , se refiere a${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.

Para algunas funciones, la imagen y el codominio coinciden; estas funciones se denominan sobreyectivas o sobreyectivas . Por ejemplo, consideremos la función${\displaystyle f(x)=2x,}$Esta función recibe como entrada un número real y devuelve su doble. Tanto el codominio como la imagen son el conjunto de todos los números reales, por lo que el término " rango" es inequívoco.

Incluso en los casos en que la imagen y el codominio de una función son diferentes, se puede definir una nueva función de forma única con su codominio como la imagen de la función original. Por ejemplo, como una función de los enteros a los enteros, la función de duplicación${\displaystyle f(n)=2n}$no es sobreyectiva porque solo los enteros pares forman parte de la imagen. Sin embargo, una nueva función${\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$cuyo dominio son los enteros y cuyo codominio son los enteros pares es sobreyectiva.${\displaystyle {\tilde {f}},}$La palabra " rango" es inequívoca.

• Biyección, inyección y sobreyección
• Gama esencial

• Childs, Lindsay N. (2009). Childs, Lindsay N. (ed.). Una introducción concreta al álgebra superior . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª  ed.). Springer. doi : 10.1007/978-0-387-74725-5 . ISBN 978-0-387-74527-5OCLC 173498962​​ 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª  ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7OCLC 52559229​​ 
• Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  73. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-6101-8 . ISBN 0-387-90518-9OCLC 703268​​ 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional (2.ª  ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.