Conjunto polar

En el análisis funcional y convexo , y disciplinas relacionadas de las matemáticas , el conjunto polar es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto de un espacio vectorial que se encuentra en el espacio dual . El bipolar de un subconjunto es el polar de pero se encuentra en (no ). ${\displaystyle A^{\circ}}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización X,}$ ${\displaystyle X^{\prime}.}$${\displaystyle A^{\circ },}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

Existen al menos tres definiciones en competencia de la polaridad de un conjunto, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo. ^{[1] [ cita requerida ]} En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales sobre los números reales o complejos ( y a menudo son espacios vectoriales topológicos (TVS)). ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

Si es un espacio vectorial sobre el campo , entonces, a menos que se indique lo contrario, normalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales en y el emparejamiento dual será el mapa de evaluación bilineal ( en un punto ) definido por Si es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio normalmente, pero no siempre, será el espacio dual continuo de en cuyo caso el emparejamiento dual será nuevamente el mapa de evaluación. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {K}}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X,}$

Denotemos la bola cerrada de radio centrada en el origen en el campo escalar subyacente de por ${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \mathbb {K}}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

Supongamos que es un emparejamiento . La polar o polar absoluta de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

donde denota la imagen del conjunto bajo el mapa definido por Si denota la envoltura convexa equilibrada de la cual por definición es el subconjunto convexo y equilibrado más pequeño de que contiene entonces${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$${\estilo de visualización A,}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización A,}$${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

Este es un cambio afín de la definición geométrica; tiene la caracterización útil de que el polar funcional-analítico de la bola unitaria (en ) es precisamente la bola unitaria (en ). ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto de es el conjunto: ${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización Y}$$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto de también se denomina polar o polar absoluto de y se denota por ; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (como ambigüedad) y muchos autores ni siquiera usan la palabra "prepolar". ${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }}$

El bipolar de un subconjunto de a menudo denotado por es el conjunto ; es decir, ${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\circ \circ },}$${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$$${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

El polar real de un subconjunto de es el conjunto: y el prepolar real de un subconjunto de es el conjunto: ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se denomina polar real y también se denota por ^[2]. Es importante tener en cuenta que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación para ello (en lugar de la notación que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]). ${\displaystyle B^{r}.}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A^{r}}$

El bipolar real de un subconjunto de a veces denotado por es el conjunto ; es igual al -cierre de la envoltura convexa de ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{rr},}$${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

Para un subconjunto de es convexo, -cerrado y contiene ^[2] En general, es posible que pero la igualdad se cumpla si está balanceado . Además, donde denota la envoltura balanceada de ^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle A^{\circ }.}$${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$${\displaystyle A^{r}.}$

La definición de "polar" de un conjunto no es universalmente aceptada. Aunque este artículo define "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. Independientemente de cómo defina un autor "polar", la notación casi siempre representa su elección de definición (por lo que el significado de la notación puede variar de una fuente a otra). En particular, el polar de a veces se define como: donde la notación no es una notación estándar. ${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$${\displaystyle A^{|r|}}$

Ahora discutiremos brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.

Siempre es el caso que y si tiene un valor real (o equivalentemente, si y son espacios vectoriales sobre ), entonces$${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

Si es un conjunto simétrico (es decir, o equivalentemente, ) entonces donde si además es de valor real entonces${\displaystyle A}$${\displaystyle -A=A}$${\displaystyle -A\subseteq A}$${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

Si y son espacios vectoriales sobre (por lo que es de valor complejo) y si (donde note que esto implica y ), entonces donde si además para todos los reales entonces${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle iA\subseteq A}$${\displaystyle -A=A}$${\displaystyle iA=A}$$${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de concuerden, basta con que para todos los escalares de longitud unitaria ^{[nota 1]} (donde esto es equivalente a para todos los escalares de longitud unitaria ). En particular, todas las definiciones del polar de concuerdan cuando es un conjunto equilibrado (lo que ocurre a menudo, pero no siempre), de modo que, a menudo, no importa cuál de estas definiciones en competencia se utilice. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando no está necesariamente equilibrado. ${\displaystyle A}$${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle sA=A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Espacio dual algebraico

Si es un espacio vectorial cualquiera, entonces sea el espacio dual algebraico de cuyo conjunto de funciones lineales en El espacio vectorial es siempre un subconjunto cerrado del espacio de todas las funciones con valores en bajo la topología de convergencia puntual, por lo que cuando está dotado de la topología de subespacio, entonces se convierte en un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) completo de Hausdorff . Para cualquier subconjunto sea ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Si hay subconjuntos cualesquiera entonces y donde denota la envoltura convexa equilibrada de Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita de sea la topología euclidiana en la que es la única topología que se convierte en un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS). Si denota la unión de todos los cierres como varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de entonces (ver esta nota al pie ^{[nota 2]} para una explicación). Si es un subconjunto absorbente de entonces por el teorema de Banach-Alaoglu , es un subconjunto débilmente compacto de${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau _{Y}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{\#}}$${\displaystyle X^{\#}.}$

Si es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial y si es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en (es decir, un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de ) entonces la función de valor real ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$     definido por     ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

es una seminorma en Si entonces por definición del supremo , de modo que la función definida anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma. ${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A=\varnothing }$${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

Espacio dual continuo

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo . Ahora se considera el caso especial importante donde y los corchetes representan la función canónica: La tripleta se denomina el emparejamiento canónico asociado con${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle X.}$

La polar de un subconjunto con respecto a este emparejamiento canónico es: ${\displaystyle A\subseteq X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

Para cualquier subconjunto donde denota el cierre de en${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

El teorema de Banach-Alaoglu establece que si es un vecindario del origen en entonces y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo cuando está dotado de la topología débil-* (también conocida como topología de convergencia puntual). ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Si se satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por (el operador de parte real) de modo que: ${\displaystyle A}$${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

El prepolar de un subconjunto de es: ${\displaystyle B}$${\displaystyle Y=X^{\prime }}$$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

Si se satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con de modo que: donde${\displaystyle B}$${\displaystyle sB\subseteq B}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$$${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

El teorema bipolar caracteriza la bipolaridad de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.

Si es un espacio normado y es la bola unitaria abierta o cerrada en (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta) entonces es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo cuando está dotada de su norma dual canónica . ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

El cono polar de un cono convexo es el conjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiendo estos últimos como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto es el lugar geométrico ; la relación dual para un hiperplano da como resultado el punto polar de ese hiperplano. ^{[3] [ cita requerida ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

Algunos autores (de manera confusa) llaman al cono dual cono polar; en este artículo no seguiremos esa convención. ^[4]

A menos que se indique lo contrario, será un emparejamiento . La topología es la topología débil-* en mientras que es la topología débil en Para cualquier conjunto denota la polar real de y denota la polar absoluta de El término "polar" se referirá a la polar absoluta . ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A.}$

• La polar (absoluta) de un conjunto es convexa y equilibrada . ^[5]
• La polar real de un subconjunto de es convexa pero no necesariamente equilibrada; estará equilibrada si está equilibrada. ^[6]${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$
• Si para todos los escalares de longitud unitaria entonces${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$está cerrado bajo la topología débil-* en . ^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• Un subconjunto de está débilmente acotado (es decir, -acotado) si y solo si es absorbente en . ^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle Y}$
• Para un par dual donde es un TVS y es su espacio dual continuo, si está acotado entonces es absorbente en ^[5] Si es localmente convexo y es absorbente en entonces está acotado en Además, un subconjunto de está débilmente acotado si y solo si es absorbente en${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
• El bipolar de un conjunto es la envoltura convexa cerrada de que es el conjunto más pequeño, cerrado y convexo que contiene tanto y${\displaystyle A^{\circ \circ }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A\cup \{0\},}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0.}$
  • De manera similar, el cono bidual de un cono es la envoltura cónica cerrada de ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A.}$
• Si es una base en el origen para un TVS entonces ^[8]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• Si es un TVS localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a ) de cualquier base de vecindad 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de (es decir, dado cualquier subconjunto acotado de existe una vecindad del origen en tal que ). ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • Por el contrario, si es un TVS localmente convexo entonces los polares (tomados con respecto a ) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de forman una base de vecindad del origen en ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X.}$
• Sea un TVS con una topología Entonces es una topología TVS localmente convexa si y solo si es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X^{\prime }.}$

Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo. ${\displaystyle X}$

Establecer relaciones

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^[6] y${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• Para todos los escalares y para todos los reales y${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$Sin embargo, para el polar real tenemos ^[6]${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• Para cualquier colección finita de conjuntos${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$ $${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• Si entonces y${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • Un corolario inmediato es que la igualdad se cumple necesariamente cuando es finito y puede no cumplirse si es infinito.${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$y${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• Si es un cono entonces ^[5]${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• Si es una familia de subconjuntos cerrados de que contienen entonces la polar real de es la envoltura convexa cerrada de ^[6]${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\in X,}$${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• Si entonces ^[9]${\displaystyle 0\in A\cap B}$${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• Para un cono convexo cerrado en un espacio vectorial real el cono polar es el polar de ; es decir, donde ^[1]${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema bipolar  – Teorema en análisis convexo
• Cono polar  : conceptos de análisis convexoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología polar  : topología espacial dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .