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Teorema bipolar

En matemáticas , el teorema bipolar es un teorema del análisis funcional que caracteriza el bipolar (es decir, el polar del polar) de un conjunto. En análisis convexo , el teore...

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En matemáticas , el teorema bipolar es un teorema del análisis funcional que caracteriza el bipolar (es decir, el polar del polar) de un conjunto. En análisis convexo , el teorema bipolar se refiere a las condiciones necesarias y suficientes para que un cono sea igual a su bipolar . El teorema bipolar puede considerarse un caso especial del teorema de Fenchel-Moreau . [ 1 ] : 76–77

Preliminares

Supongamos queincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}y dejar⟨incógnita,incógnita′⟩:=incógnita′(incógnita){\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)} para todoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}yincógnita′∈incógnita′.{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }.} La envoltura convexa de un conjuntoA,{\displaystyle A,}denotado porco⁡A,{\displaystyle \operatorname {co} A,}es el conjunto convexo más pequeño que contieneA.{\displaystyle A.} La envoltura equilibrada convexa de un conjuntoA{\displaystyle A}es el conjunto equilibrado convexo más pequeño que contieneA.{\displaystyle A.}

El polar de un subconjuntoA⊆incógnita{\displaystyle A\subsetequ X}se define como: A∘:={incógnita′∈incógnita′:sorbera∈A|⟨a,incógnita′⟩|≤1}.{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.} mientras que el prepolar de un subconjuntoB⊆incógnita′{\displaystyle B\subseteq X^{\prime }}es: ∘B:={incógnita∈incógnita:sorberincógnita′∈B|⟨incógnita,incógnita′⟩|≤1}.{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.} La bipolaridad de un subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}a menudo denotado porA∘∘{\displaystyle A^{\circ \circ }}es el conjunto A∘∘:=∘(A∘)={incógnita∈incógnita:sorberincógnita′∈A∘|⟨incógnita,incógnita′⟩|≤1}.{\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}

Declaración en análisis funcional

Dejarσ(incógnita,incógnita′){\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}denotemos la topología débil enincógnita{\displaystyle X}(es decir, la topología TVS más débil enincógnita{\displaystyle X}haciendo todos los funcionales lineales enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}continuo).

El teorema bipolar : [ 2 ] El bipolar de un subconjuntoA⊆incógnita{\displaystyle A\subsetequ X}es igual a laσ(incógnita,incógnita′){\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}-cierre de la envoltura convexa equilibrada deA.{\displaystyle A.}

Enunciado en análisis convexo

El teorema bipolar : [ 1 ] : 54 [ 3 ] Para cualquier cono no vacíoA{\displaystyle A}en algún espacio linealincógnita,{\displaystyle X,}el conjunto bipolarA∘∘{\displaystyle A^{\circ \circ }}está dado por:

A∘∘=cl⁡(co⁡{ra:r≥0,a∈A}).{\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).}

Caso especial

Un subconjuntodo⊆incógnita{\displaystyle C\subsetequ X}es un cono convexo cerrado no vacío si y solo sido++=do∘∘=do{\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}cuandodo++=(do+)+,{\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},}dóndeA+{\displaystyle A^{+}}denota el cono dual positivo de un conjuntoA.{\displaystyle A.}[ 3 ] [ 4 ] O más generalmente, sido{\displaystyle C}Si es un cono convexo no vacío, entonces el cono bipolar viene dado por do∘∘=cl⁡do.{\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}

Relación con el teorema de Fenchel-Moreau

Dejar F(incógnita):=δ(incógnita|do)={0incógnita∈do∞de lo contrario{\displaystyle f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}} ser la función indicadora para un conodo.{\displaystyle C.} Entonces el conjugado convexo , F∗(incógnita∗)=δ(incógnita∗|do∘)=δ∗(incógnita∗|do)=sorberincógnita∈do⟨incógnita∗,incógnita⟩{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle } es la función de soporte parado,{\displaystyle C,}yF∗∗(incógnita)=δ(incógnita|do∘∘).{\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).} Por lo tanto,do=do∘∘{\displaystyle C=C^{\circ \circ }}si y solo siF=F∗∗.{\displaystyle f=f^{**}.}[ 1 ] : 54 [ 4 ]

Véase también

  • Sistema dual – Par dual de espacios vectoriales 
  • Teorema de Fenchel-Moreau : teorema matemático en análisis convexo - Una generalización del teorema bipolar. 
  • Conjunto polar : subconjunto de todos los puntos que está delimitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual). 

Referencias

  1. 1 2 3 Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2.ª  ed.). Springer. ISBN 9780387295701.
  2. ↑ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.
  3. 1 2 Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 51–53 . ISBN  9780521833783. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
  4. 1 2 Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. págs. 121–125 . ISBN  9780691015866.

Bibliografía

  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
  • Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
  • Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​