Cono doble y cono polar

El cono dual y el cono polar son conceptos estrechamente relacionados en el análisis convexo , una rama de las matemáticas .

Cono doble

En un espacio vectorial

El cono dual C ^* de un subconjunto C en un espacio lineal X sobre los números reales , por ejemplo el espacio euclidiano R ⁿ , con espacio dual X ^* es el conjunto

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

dónde $\langle y,x\rangle$ es el emparejamiento de dualidad entre X y X ^* , es decir $\langle y,x\rangle =y(x)$ .

El conjunto $C^{*}$ siempre es un cono convexo , incluso si $C$ no es ni convexo ni un cono .

En un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico sobre los números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en X :

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ para todo }}x\in C\right\}

, ^{[ 1 ]}

que es el polar del conjunto - C . ^{[ 1 ]} No importa lo que sea C , $C^{\prime }$ será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces $C^{\prime }=X^{\prime }$ .

En un espacio de Hilbert (cono dual interno)

Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un espacio de Hilbert real (como R ⁿ equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se denomina cono dual interno .

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Propiedades

Utilizando esta última definición para C ^* , tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

Un vector y distinto de cero pertenece a C ^* si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

y es una normal en el origen de un hiperplano que soporta C.
y y C se encuentran en el mismo lado de ese hiperplano de soporte.

C ^* es cerrado y convexo.
$C_{1}\subsetequ C_{2}$ implica $C_{2}^{*}\subseteteq C_{1}^{*}$ .
Si C tiene un interior no vacío, entonces C ^* apunta a , es decir, C * no contiene ninguna línea en su totalidad.
Si C es un cono y la clausura de C es puntiaguda, entonces C ^* tiene un interior no vacío.
C ^** es la clausura del cono convexo más pequeño que contiene a C (una consecuencia del teorema de separación de hiperplanos ).

Conos autoduales

Se dice que un cono C en un espacio vectorial X es autodual si X puede equiparse con un producto interno ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno sea igual a C. ^{[ 3} ] Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio ^de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en R ⁿ con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno puede cambiarse para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en R ⁿ es igual a su dual interno.

El ortante no negativo de R ⁿ y el espacio de todas las matrices semidefinidas positivas son autoduales, al igual que los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). Lo mismo ocurre con todos los conos en R ³ cuya base es la envoltura convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos regular es el cono en R ³ cuya base es la "casa": la envoltura convexa de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forma un triángulo equilátero (de la altura apropiada) con uno de los lados del cuadrado.

cono polar

Para un conjunto C en X , el cono polar de C es el conjunto ^{[ 4 ].}

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Se puede observar que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir C ^o = − C ^* .

Para un cono convexo cerrado C en X , el ^cono polar es equivalente al conjunto polar para C. [ ^{5 ]}

Véase también

Referencias

1 2 Schaefer y Wolff 1999 , págs. 215–222.
↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 51–53 . ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
^ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122 . ISBN 978-0-691-01586-6.
↑ Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer. p. 215. doi : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.

Bibliografía

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Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización y desigualdades variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834
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Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] 1 2 Schaefer y Wolff 1999 , págs. 215–222.

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 51–53 . ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .

[3] Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122 . ISBN 978-0-691-01586-6.

[5] Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer. p. 215. doi : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.

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[ 4 ].

cono