Espacio vectorial topológico completo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (TVS) con la propiedad de que siempre que los puntos se acercan progresivamente entre sí, entonces existe algún punto hacia el cual todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se hace rigurosa mediante las redes de Cauchy o filtros de Cauchy , que son generalizaciones de las sucesiones de Cauchy , mientras que "punto hacia el cual todos se acercan" significa que esta red o filtro de Cauchy converge a La noción de completitud para los TVS utiliza la teoría de espacios uniformes como marco para generalizar la noción de completitud para los espacios métricos . Pero a diferencia de la completitud métrica, la completitud de los TVS no depende de ninguna métrica y está definida para todos los TVS, incluidos aquellos que no son metrizables o Hausdorff . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para espacios normados y TVS metrizables , que se definen comúnmente en términos de completitud de una norma o métrica particular, se pueden reducir a esta noción de completitud TVS, una noción que es independiente de cualquier norma o métrica particular. Un espacio vectorial topológico metrizable con una métrica invariante de traslación ^{[nota 1]} es completo como un TVS si y solo si es un espacio métrico completo , lo que por definición significa que cada secuencia de - Cauchy converge a algún punto en Ejemplos destacados de TVS completos que también son metrizables incluyen todos los espacios F y, en consecuencia, también todos los espacios de Fréchet , espacios de Banach y espacios de Hilbert . Ejemplos destacados de TVS completos que (normalmente) no son metrizables incluyen espacios LF estrictos como el espacio de funciones de prueba con su topología LF canónica, el espacio dual fuerte de cualquier espacio de Fréchet no normalizable , así como muchas otras topologías polares en espacios duales continuos u otras topologías en espacios de mapas lineales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Explícitamente, un espacio vectorial topológico (TVS) es completo si cada red , o equivalentemente, cada filtro , que es Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio necesariamente converge a algún punto. Dicho de otra manera, un TVS es completo si su uniformidad canónica es una uniformidad completa . La uniformidad canónica en un TVS es la única ^{[nota 2]} uniformidad invariante en la traducción que induce en la topología Esta noción de "completitud de TVS" depende solo de la resta vectorial y de la topología del TVS; en consecuencia, se puede aplicar a todos los TVS, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos de métricas o pseudometrías . Un TVS de primer orden contable es completo si y solo si cada secuencia de Cauchy (o equivalentemente, cada filtro de Cauchy elemental ) converge a algún punto. ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$

Todo espacio vectorial topológico, incluso si no es metrizable o no es Hausdorff , tiene una completitud , que por definición es un TVS completo en el que se puede incorporar un TVS como un subespacio vectorial denso . Además, cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo TVS . Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los TVS tienen infinitas completitudes no Hausdorff que no son isomorfas entre sí. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

En esta sección se resume la definición de un espacio vectorial topológico (TVS) completo en términos de redes y prefiltros . Se puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología .

Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo con identidad bajo la adición y la uniformidad canónica de un TVS se define enteramente en términos de resta (y por lo tanto de adición); no interviene la multiplicación escalar y no se necesita ninguna estructura adicional.

La diagonal de es el conjunto ^[1] y para cualquier${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$${\displaystyle N\subseteq X,}$séquito canónico /vecindad alrededor${\displaystyle N}$es el conjunto donde sientoncescontiene la diagonal$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$${\displaystyle 0\in N}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Si es un conjunto simétrico (es decir, si ), entonces es simétrico , lo que por definición significa que se cumple donde y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es: ${\displaystyle N}$${\displaystyle -N=N}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

Si es cualquier base de vecindad en el origen en entonces la familia de subconjuntos de es un prefiltro en Si es el filtro de vecindad en el origen en entonces forma una base de séquitos para una estructura uniforme en que se considera canónica. ^[2] Explícitamente, por definición, la${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X\times X:}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$${\displaystyle X}$La uniformidad canónica inducidapor${\displaystyle X}$ ^[2]es elfiltrogeneradopor el prefiltro anterior: dondedenota elcierre ascendentedeen La misma uniformidad canónica resultaría al utilizar una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen. Sies cualquier base de vecindad en el origen enentonces el filtrogenerado por el prefiltroes igual a la uniformidad canónicainducida por${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ and }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Para la uniformidad canónica de estas definiciones, redúzcalas a las que se dan a continuación. ${\displaystyle X,}$

Supongamos que es una red en y es una red en El producto se convierte en un conjunto dirigido al declarar si y solo si y Entonces denota el ( cartesiano )${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle I\times J}$${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$${\displaystyle i\leq i_{2}}$${\displaystyle j\leq j_{2}.}$$${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$producto neto , donde en particularSientonces la imagen de esta red bajo el mapa de adición vectorialdenota la${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle X\times X\to X}$suma de estas dos redes:^[3] y de manera similar sus$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$La diferencia se define como la imagen del producto neto bajo el mapa de sustracción de vectores: en particular, la notacióndenota lared indexaday no lared indexadaya que usar esta última como definición haría que la notación fuera inútil. ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle I^{2}}$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$

Una red en una TVS se llama red de Cauchy ^[4] si Explícitamente, esto significa que para cada vecindad de en existe algún índice tal que para todos los índices que satisfacen y es suficiente verificar cualquiera de estas condiciones definitorias para cualquier base de vecindad dada de en Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle i_{0}\in I}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle i\geq i_{0}}$${\displaystyle j\geq i_{0}.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

Si entonces en y por lo tanto la continuidad de la función de sustracción vectorial que se define por garantiza que en donde y Esto demuestra que toda red convergente es una red de Cauchy. Por definición, un espacio se llama completo si la recíproca también es siempre cierta. Es decir, es completo si y solo si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle S:X\times X\to X,}$${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$${\displaystyle X}$

siempre que una red en entonces converge (a algún punto) en si y solo si en${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle X.}$

Una caracterización similar de completitud se mantiene si se utilizan filtros y prefiltros en lugar de redes.

Una serie se llama${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$Serie de Cauchy (respectivamente, unaserie convergente ) si la secuencia desumas parciales es unasecuencia de Cauchy(respectivamente, unasecuencia convergente).^[5]Toda serie convergente es necesariamente una serie de Cauchy. En una TVS completa, toda serie de Cauchy es necesariamente una serie convergente. ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Un prefiltro en un espacio vectorial topológico se denomina prefiltro de Cauchy ^[6] si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro.${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen en existen tales que${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro equivalente a ( equivalencia significa que estos prefiltros generan el mismo filtro en ).${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen en existe alguna tal que${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Porque cada vecindad del origen en contiene algún conjunto -pequeño (es decir, existe alguno tal que ). ^[6]${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B-B\subseteq N}$
   • Un subconjunto se llama -pequeño o${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle N}$pequeño de orden ${\displaystyle N}$ ^[6]si${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Para cada vecindad del origen en existe algún y algún tal que ^[6]${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\subseteq x+N.}$
   • Esta afirmación sigue siendo verdadera si " " se reemplaza por " "${\displaystyle B\subseteq x+N}$${\displaystyle x+B\subseteq N.}$
5. Cada vecindad del origen en contiene algún subconjunto de la forma donde y${\displaystyle X}$${\displaystyle x+B}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindad dada en Un filtro de Cauchy es un prefiltro de Cauchy que también es un filtro en${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X.}$

Si es un prefiltro en un espacio vectorial topológico y si entonces en si y sólo si y es Cauchy. ^[3]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Para cualquier prefiltro , es necesariamente un subconjunto de ; es decir,${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \wp (S)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto de un TVS se denomina${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$subconjunto completo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Si es Hausdorff entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en Lo mismo es cierto para las redes.${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjuntos de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$

El subconjunto se llama${\displaystyle S}$subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en(o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en) converge al menos a un punto de${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Es importante destacar que la convergencia a puntos fuera de no impide que un conjunto sea completo${\displaystyle S}$ : si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en converge a algún punto de entonces será completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy en también convergen a puntos en En resumen, no hay ningún requisito de que estos prefiltros de Cauchy en converjan solo a puntos en Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$

En consecuencia, si un TVS no es Hausdorff entonces cada subconjunto del cierre de en es completo porque es compacto y cada conjunto compacto es necesariamente completo. En particular, si es un subconjunto propio, como por ejemplo, entonces sería completo aunque cada red de Cauchy en (y también cada prefiltro de Cauchy en ) converja a cada punto en incluyendo aquellos puntos en que no pertenecen a Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (y de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un TVS no Hausdorff pueden no ser cerrados. Por ejemplo, si entonces si y solo si es cerrado en${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S=\{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$

Un espacio vectorial topológico se denomina${\displaystyle X}$espacio vectorial topológico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica.
   • En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy en converge a algún punto de en la topología inducida por la uniformidad. Cuando es un TVS, la topología inducida por la uniformidad canónica es igual a la topología dada de (por lo que la convergencia en esta topología inducida es simplemente la convergencia habitual en ).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$es un subconjunto completo de sí mismo.
3. Existe un vecindario del origen en que también es un subconjunto completo de ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
   • Esto implica que cada TVS localmente compacto es completo (incluso si el TVS no es Hausdorff).
4. Cada prefiltro de Cauchy converge en al menos un punto de${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
   • Si es Hausdorff entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en Lo mismo es cierto para las redes.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
5. Cada filtro de Cauchy converge en al menos un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
6. Toda red de Cauchy converge en al menos un punto de${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

donde si además es pseudometrizable o metrizable (por ejemplo, un espacio normado ) entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle X}$es secuencialmente completo.

Un espacio vectorial topológico es${\displaystyle X}$completar secuencialmente si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
2. Toda secuencia de Cauchy converge en al menos un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
3. Cada prefiltro de Cauchy elemental converge en al menos un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
4. Todo filtro de Cauchy elemental converge al menos en un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

La existencia de la uniformidad canónica se demostró anteriormente definiéndola. El teorema que se muestra a continuación establece que la uniformidad canónica de cualquier TVS es la única uniformidad que es (1) invariante en la traducción y (2) genera en la topología.${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$

Esta sección está dedicada a explicar los significados precisos de los términos involucrados en esta declaración de unicidad.

Para cualquier subconjunto sea ^[1] y sea Una familia no vacía se llama${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$ $${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$base de séquitos o unasistema fundamental de séquitos sies unprefiltroalsatisfacer todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X\times X}$

1. Todo conjunto en contiene la diagonal de como subconjunto; es decir, para cada Dicho de otra manera, el prefiltro se fija en${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Para cada uno existe algo tal que${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Para cada uno existe algo tal que${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Auniformidad oLa estructura uniforme esunfiltroquese genera por alguna base de séquitosen cuyo caso decimos quees unabase de séquitos para${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Para un grupo aditivo conmutativo a${\displaystyle X,}$El sistema fundamental de entornos invariante en la traducción ^[7]es un sistema fundamental de entornostal que para cadasi y sólo sipara todauniformidad Ase denomina${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$${\displaystyle x,y,z\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$uniformidad invariante a la traducción ^[7]si tiene una base de séquitos que es invariante a la traducción. La uniformidad canónica en cualquier TVS es invariante a la traducción.^[7]

El operador binario satisface todo lo siguiente: ${\displaystyle \;\circ \;}$

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Si y entonces${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• Asociatividad:${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Identidad:${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Cero:${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

Séquitos simétricos

Llamemos simétrico a un subconjunto si que es equivalente a Esta equivalencia se sigue de la identidad y del hecho de que si entonces si y sólo si Por ejemplo, el conjunto es siempre simétrico para cada Y porque si y son simétricos entonces también lo es${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

Parientes

Sean arbitrarios y sean las proyecciones canónicas sobre las primeras y segundas coordenadas, respectivamente. ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$

Para cualquier definición donde (respectivamente, ) se llama el conjunto de parientes izquierdos (respectivamente, derechos ) de (puntos en) Denote el caso especial donde es un conjunto singleton para algunos por: Si entonces Además, derecho se distribuye tanto sobre uniones como intersecciones, lo que significa que si entonces y${\displaystyle S\subseteq X,}$$${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$${\displaystyle \Phi \cdot S}$${\displaystyle S\cdot \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S=\{p\}}$${\displaystyle p\in X}$$${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Barrios y espacios abiertos

Dos puntos y son -cercanos si y un subconjunto se llama -pequeño si${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Seamos una base de séquitos en El${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$${\displaystyle X.}$prefiltro de vecindad en un puntoy, respectivamente, en un subconjuntoson lasfamilias de conjuntos: y los filtrosque cada uno genera se conocen como${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle S\subseteq X}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$${\displaystyle X}$Filtro de vecindad de(respectivamente, de). Asignar a cadaprefiltro de vecindad y utilizar ladefinición de vecindad de "conjunto abierto"para obtener unatopologíaenllamadatopología inducida poro la${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$topología inducida . Explícitamente, un subconjuntoes abierto en esta topología si y solo si para cadauno existe algunotal quees decir,es abierto si y solo si para cadauno existe algunotal que${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$${\displaystyle N\subseteq U;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

El cierre de un subconjunto en esta topología es: ${\displaystyle S\subseteq X}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Prefiltros Cauchy y uniformidades completas

Un prefiltro en un espacio uniforme con uniformidad se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno existe alguno tal que${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Un espacio uniforme se llama${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$espacio uniforme completo (respectivamente, unespacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) enconverge al menos a un punto decuandoestá dotado de la topología inducida por${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Caso de un espacio vectorial topológico

Si es un espacio vectorial topológico, entonces para cualquier y y la topología inducida en por la uniformidad canónica es la misma que la topología que comenzó con (es decir, es ). ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$

Sean y sean TVS, y sea una función. Entonces es uniformemente continua si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para todo si entonces${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D\subseteq X,}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x,y\in D,}$${\displaystyle y-x\in U}$${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Supongamos que es uniformemente continua. Si es una red de Cauchy en entonces es una red de Cauchy en Si es un prefiltro de Cauchy en (lo que significa que es una familia de subconjuntos de que es Cauchy en ) entonces es un prefiltro de Cauchy en Sin embargo, si es un filtro de Cauchy en entonces aunque será un prefiltro de Cauchy , será un filtro de Cauchy en si y solo si es sobreyectiva. ${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$

Repasamos las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recordemos que toda métrica es pseudométrica y que una pseudométrica es una métrica si y solo si implica Por lo tanto, todo espacio métrico es un espacio pseudométrico y un espacio pseudométrico es un espacio métrico si y solo si es una métrica. ${\displaystyle p}$${\displaystyle p(x,y)=0}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle p}$

Si es un subconjunto de un espacio pseudométrico entonces el diámetro de se define como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Un prefiltro en un espacio pseudométrico se llama prefiltro de Cauchy o simplemente prefiltro de Cauchy si para cada real hay alguno tal que el diámetro de es menor que${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r.}$

Supongamos que es un espacio pseudométrico. Una red en se llama red de Cauchy o simplemente red de Cauchy si es un prefiltro de Cauchy, lo que sucede si y solo si ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$

para cada hay alguno tal que si con y entonces${\displaystyle r>0}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle j,k\in I}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle k\geq i}$${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

o equivalentemente, si y sólo si en Esto es análogo a la siguiente caracterización de la convergencia de a un punto: si entonces en si y sólo si en${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. ^{[nota 3]}

Toda pseudometría en un conjunto induce la topología canónica usual en la que denotaremos por ; también induce una uniformidad canónica en la que denotaremos por La topología en inducida por la uniformidad es igual a Una red en es de Cauchy con respecto a si y solo si es de Cauchy con respecto a la uniformidad El espacio pseudométrico es un espacio pseudométrico completo (resp. secuencialmente completo) si y solo si es un espacio uniforme completo (resp. secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico (resp. el espacio uniforme ) es completo si y solo si es secuencialmente completo. ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau _{p}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$${\displaystyle \tau _{p}.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$

Un espacio pseudométrico (por ejemplo, un espacio métrico ) se denomina completo y se denomina pseudométrico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. La declaración anterior pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
3. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
   • Si es una métrica en entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo es cierto para los límites de los prefiltros de Cauchy en${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
4. Toda secuencia de Cauchy en converge al menos a un punto de${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
   • Por lo tanto, para demostrar que es completa, basta considerar únicamente las secuencias de Cauchy (y no es necesario considerar las redes de Cauchy más generales).${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$
5. La uniformidad canónica inducida por la pseudometría es una uniformidad completa.${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$

Y si la adición es una métrica, entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle d}$

6. Toda secuencia decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen a tiene una intersección no vacía. ^[8]${\displaystyle 0}$

Todo espacio F , y por lo tanto también todo espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert es un sistema de sucesión transitoria completo. Nótese que todo espacio F es un espacio de Baire , pero hay espacios normados que son de Baire pero no de Banach. ^[9]

Se dice que una pseudométrica en un espacio vectorial es una${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$traducción invariante pseudométrica sipara todos los vectores${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Supóngase que es un TVS pseudometrizable (por ejemplo, un TVS metrizable) y que es cualquier pseudométrico en tal que la topología en inducida por es igual a Si es invariante a la traslación, entonces es un TVS completo si y solo si es un espacio pseudométrico completo. ^[10] Si no es invariante a la traslación, entonces puede ser posible que sea un TVS completo pero no sea un espacio pseudométrico completo ^[10] (véase esta nota al pie ^{[nota 4]} para un ejemplo). ^[10]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,p)}$

Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología. ^[13] Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial , entonces el espacio normado es un espacio de Banach si y solo si es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [13]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[14] Todo espacio de Banach es un TVS completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma canónica es completa) si y solo si es completo como espacio vectorial topológico. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (X,q)}$

Una compleción ^[15] de un TVS es un TVS completo que contiene un subespacio vectorial denso que es TVS-isomorfo a En otras palabras, es un TVS completo en el que se puede realizar una incrustación TVS como un subespacio vectorial denso . Cada incrustación TVS es una incrustación uniforme . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

Todo espacio vectorial topológico tiene una completitud. Además, cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo TVS . Sin embargo, todos los TVS, incluso aquellos que son Hausdorff, (ya) completos y/o metrizables tienen infinitas completitudes no Hausdorff que no son isomorfas TVS entre sí.

Por ejemplo, el espacio vectorial que consiste en funciones simples de valores escalares para los cuales (donde esta seminorma se define de la manera usual en términos de integración de Lebesgue ) se convierte en un espacio seminorma cuando se le dota de esta seminorma, lo que a su vez lo convierte en un espacio pseudométrico y en un TVS no completo no Hausdorff; cualquier completitud de este espacio es un espacio seminorma completo no Hausdorff que cuando se cociente por la clausura de su origen (para obtener un TVS de Hausdorff ) da como resultado (un espacio linealmente isométrico-isomorfo a) el espacio de Hausdorff completo usual (dotado de la norma completa usual ). ${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Como otro ejemplo que demuestra la utilidad de las completaciones, las completaciones de productos tensoriales topológicos , como productos tensoriales proyectivos o productos tensoriales inyectivos , del espacio de Banach con un TVS localmente convexo de Hausdorff completo da como resultado un TVS completo que es TVS-isomorfo a un espacio "generalizado" que consiste en funciones -valuadas en (donde este TVS "generalizado" se define de manera análoga al espacio original de funciones escalares en ). De manera similar, la completación del producto tensorial inyectivo del espacio de funciones de prueba -valuadas escalares con dicho TVS es TVS-isomorfo al TVS definido de manera análoga de funciones de prueba -valuadas . ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ell ^{1}(S;Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{k}}$

Como muestra el ejemplo siguiente, independientemente de si un espacio es de Hausdorff o ya completo, cada espacio vectorial topológico (TVS) tiene infinitas completitudes no isomorfas. ^[16]

Sin embargo, cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo TVS. ^[16] Pero, no obstante, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.

Ejemplo ( No unicidad de las compleciones ): ^[15] Sea cualquier TVS completo y sea cualquier TVS dotado de la topología indiscreta , que recuerda convierte en un TVS completo. Puesto que tanto y son TVS completos, entonces es su producto Si y son subconjuntos abiertos no vacíos de y respectivamente, entonces y lo que muestra que es un subespacio denso de Por lo tanto, por definición de "compleción", es una compleción de (no importa que ya esté completo). Así que al identificar con si es un subespacio vectorial denso de entonces tiene tanto y como compleciones. ${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I\times C.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle U=I}$${\displaystyle (U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$${\displaystyle \{0\}\times C}$${\displaystyle I\times C.}$${\displaystyle I\times C}$${\displaystyle \{0\}\times C}$${\displaystyle \{0\}\times C}$${\displaystyle \{0\}\times C}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle X\subseteq C}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I\times C}$

Cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo TVS. ^[16] Pero, sin embargo, como se muestra arriba, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.

Existencia de terminaciones de Hausdorff

Un filtro de Cauchy en un TVS se llama${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$filtro de Cauchy mínimo ^[17]sinoexiste un filtro de Cauchy enque sea estrictamente más grueso que(es decir, "estrictamente más grueso que" significa contenido como un subconjunto propio de). ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si es un filtro de Cauchy en entonces el filtro generado por el siguiente prefiltro: es el único filtro de Cauchy mínimo en que está contenido como un subconjunto de ^[17] En particular, para cualquier filtro de vecindad en es un filtro de Cauchy mínimo. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$

Sea el conjunto de todos los filtros de Cauchy mínimos en y sea el mapa definido enviando al filtro de vecindad de en Endow con la siguiente estructura de espacio vectorial: Dado y un escalar sea (resp. ) el único filtro de Cauchy mínimo contenido en el filtro generado por (resp. ). ${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}}$${\displaystyle s{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}}$${\displaystyle \{sB:B\in {\mathcal {B}}\}}$

Para cada barrio equilibrado del origen en let ${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}}$$

Si es Hausdorff, entonces la colección de todos los conjuntos como rangos sobre todos los vecindarios equilibrados del origen en forma una topología vectorial al convertirse en un TVS de Hausdorff completo. Además, la función es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de ^[17]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$${\displaystyle \mathbb {M} .}$

Si es un TVS metrizable , entonces se puede construir una compleción de Hausdorff de utilizando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en lugar de filtros de Cauchy mínimos. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

En esta subsección se detalla cómo cada TVS no Hausdorff puede ser embebido en un subespacio vectorial denso de un TVS completo. La prueba de que cada TVS Hausdorff tiene una completitud Hausdorff está ampliamente disponible y, por lo tanto, este hecho se utilizará (sin prueba) para mostrar que cada TVS no Hausdorff también tiene una completitud. Estos detalles son a veces útiles para extender los resultados de los TVS Hausdorff a los TVS no Hausdorff. ${\displaystyle X}$

Sea la clausura del origen en donde está dotado de su topología de subespacio inducida por (de modo que tiene la topología indiscreta ). Como tiene la topología trivial, se muestra fácilmente que todo subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de en es necesariamente un complemento topológico de en ^{[18] [19]} Sea cualquier complemento topológico de en el que es necesariamente un TVS de Hausdorff (ya que es TVS-isomorfo al cociente TVS ^{[nota 7]} ). Como es la suma directa topológica de y (lo que significa que en la categoría de TVS), la función canónica es un isomorfismo TVS. ^[19] Sea la inversa de esta función canónica. (Como nota al margen, se deduce que todo subconjunto abierto y todo subconjunto cerrado de satisface ^{[prueba 1]} ) ${\displaystyle I=\operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X/I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X=I\oplus H}$$${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U=I+U.}$

El TVS de Hausdorff puede ser incrustado por TVS, digamos a través del mapa en un subespacio vectorial denso de su completitud . Dado que y son completos, también lo es su producto. Denotemos el mapa identidad y observemos que el mapa producto es una incrustación por TVS cuya imagen es densa en Definamos el mapa ^{[nota 8]} que es una incrustación por TVS de en un subespacio vectorial denso del TVS completo. Además, observemos que el cierre del origen en es igual a y que y son complementos topológicos en${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:H\to C,}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I\times C.}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}:I\to I}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$${\displaystyle I\times C.}$ $${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A}$$${\displaystyle X=I\oplus H}$${\displaystyle I\times C.}$${\displaystyle I\times C}$${\displaystyle I\times \{0\},}$${\displaystyle I\times \{0\}}$${\displaystyle \{0\}\times C}$${\displaystyle I\times C.}$

Para resumir, ^[19] dado cualquier complemento algebraico (y por lo tanto topológico) de en y dada cualquier completitud del TVS de Hausdorff tal que entonces la inclusión natural ^[20] es una incrustación TVS bien definida de en un subespacio vectorial denso del TVS completo donde además, ${\displaystyle H}$${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\subseteq C,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle I\oplus C}$$${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

Dicho de otra manera, si es una completitud de un TVS con y si es una base de vecindad del origen en entonces la familia de conjuntos es una base de vecindad en el origen en ^[3]${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\subseteq C}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$${\displaystyle C.}$

Teorema de completitud de Grothendieck

Sea el que denota${\displaystyle {\mathcal {E}}}$compactología equicontinua en el espacio dual continuoque por definición consiste en todoslos subconjuntos absolutamente convexosequicontinuosdébilmente cerradosy débilmenteacotadosde^[23](que son necesariamente subconjuntos débilmente compactos de). Supóngase que cadaestá dotado de latopología débilmente compactaSe dice queunfiltroen${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X^{\prime }}$convergen continuamente asi existe algúncontenedor(es decir,) tal que la traza deenla que es la familiaconverge aen(es decir, sien la topología débil-* dada).^[24] El filtroconverge continuamente asi y solo siconverge continuamente al origen, lo que sucede si y solo si para cadafiltroen el campo escalar (que eso) dondedenota cualquier base de vecindad en el origen endenota elemparejamiento de dualidad, ydenota el filtro generado por^[24] una funciónen un espacio topológico (comoo) es${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in E^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle E^{\prime },}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle E^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-x^{\prime }}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle }$${\displaystyle \{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.}$${\displaystyle f:X^{\prime }\to T}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma }$-continuo si siempre que un filtroconvergecontinuamente aentonces^[24]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).}$

Si un TVS tiene alguna de las siguientes propiedades, también las tiene su finalización: ${\displaystyle X}$

• Hausdorff
• Localmente convexo
• Pseudometrizable ^[16]
• Metrizable ^[16]
• Semi-normalizable
• Normalizable
  • Además, si es un espacio normado, entonces la completitud puede elegirse para que sea un espacio de Banach tal que la incrustación TVS de en sea una isometría.${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (B,q)}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (B,q)}$
• Hausdorff pre-Hilbert , es decir, una TVS inducida por un producto interno . ^[25]
• Nuclear ^[26]
• Cañón ^[27]
• Mackey ^[28]
• Espacio DF ^[29]

Completaciones de espacios de Hilbert

Todo espacio de producto interno tiene una completitud que es un espacio de Hilbert, donde el producto interno es la única extensión continua a del producto interno original. La norma inducida por es también la única extensión continua a de la norma inducida por ^{[25] [21]}${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$${\displaystyle {\overline {H}}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

Otras propiedades conservadas

Si es un TVS de Hausdorff , entonces el espacio dual continuo de es idéntico al espacio dual continuo de la compleción de ^[30] La compleción de un espacio bornológico localmente convexo es un espacio en barril . ^[27] Si y son DF-espacios , entonces el producto tensorial proyectivo , así como su compleción, de estos espacios es un DF-espacio. ^[31]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

La compleción del producto tensorial proyectivo de dos espacios nucleares es nuclear. ^[26] La compleción de un espacio nuclear es TVS-isomorfa con un límite proyectivo de espacios de Hilbert . ^[26]

Si (lo que significa que el mapa de adición es un isomorfismo TVS) tiene una completitud de Hausdorff , entonces Si además es un espacio de producto interno y y son complementos ortogonales entre sí en (es decir, ), entonces y son complementos ortogonales en el espacio de Hilbert${\displaystyle X=Y\oplus Z}$${\displaystyle Y\times Z\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Z}$ ${\displaystyle C.}$

Si es un operador lineal nuclear entre dos espacios localmente convexos y si es una completitud de entonces tiene una extensión lineal continua única a un operador lineal nuclear ^[26]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F:C\to Y.}$

Sean y dos TVS de Hausdorff con completa. Sea una completitud de Sea el espacio vectorial de operadores lineales continuos y sea la función que envía cada a su única extensión lineal continua en Entonces es un isomorfismo de espacio vectorial (sobreyectivo). Además, asigna familias de subconjuntos equicontinuos entre sí. Supóngase que está dotado de una G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -topología y que denota las clausuras en de conjuntos en Entonces la función es también un isomorfismo TVS. ^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\displaystyle f\in L(X;Y)}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

• Cualquier sistema de telemetría de transmisión dotado de la topología trivial es completo y cada uno de sus subconjuntos es completo. Además, todo sistema de telemetría de transmisión con la topología trivial es compacto y, por lo tanto, localmente compacto. Por lo tanto, un sistema de telemetría de transmisión completo, seminormable, localmente convexo y localmente compacto no necesita ser de dimensión finita si no es de Hausdorff.
• Un producto arbitrario de SVT completos (o secuencialmente completos, cuasicompletos) tiene esa misma propiedad. Si todos los espacios son de Hausdorff, entonces las recíprocas también son verdaderas. ^[32] Un producto de compleciones de Hausdorff de una familia de SVT (de Hausdorff) es una compleción de Hausdorff de su SVT producto. ^[32] De manera más general, un producto arbitrario de subconjuntos completos de una familia de SVT es un subconjunto completo del SVT producto. ^[33]
• El límite proyectivo de un sistema proyectivo de sistemas de transición de álgebra completos de Hausdorff (resp. secuencialmente completos, cuasi-completos) tiene esa misma propiedad. ^[32] Un límite proyectivo de completitud de Hausdorff de un sistema inverso de sistemas de transición de álgebra (de Hausdorff) es una completitud de Hausdorff de su límite proyectivo. ^[32]
• Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo entonces el espacio cociente es completo. ^[3]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X/M}$
• Supóngase que es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable. Si el espacio cociente es completo, entonces también lo es ^{[3] [34]} Sin embargo, existe un TVS completo que tiene un subespacio vectorial cerrado tal que el TVS cociente no es completo. ^[17]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X/M}$
• Cada espacio F , espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert es un TVS completo.
• Los espacios LF estrictos y los espacios LB estrictos son completos. ^[35]
• Supongamos que es un subconjunto denso de un TVS. Si cada filtro de Cauchy en converge a algún punto en entonces es completo. ^[34]${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• El espacio de Schwartz de funciones suaves está completo.
• Los espacios de distribuciones y funciones de prueba están completos.
• Suppose that ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are locally convex TVSs and that the space of continuous linear maps ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ is endowed with the topology of uniform convergence on bounded subsets of ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle X}$ is a bornological space and if ${\displaystyle Y}$ is complete then ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ is a complete TVS.^[35] In particular, the strong dual of a bornological space is complete.^[35] However, it need not be bornological.
• Every quasi-complete DF-space is complete.^[29]
• Let ${\displaystyle \omega }$ and ${\displaystyle \tau }$ be Hausdorff TVS topologies on a vector space ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$ If there exists a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a neighborhood basis at the origin for ${\displaystyle (X,\tau )}$ and such that every ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ is a complete subset of ${\displaystyle (X,\omega ),}$ then ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a complete TVS.^[6]

Every TVS has a completion and every Hausdorff TVS has a Hausdorff completion.^[36] Every complete TVS is quasi-complete space and sequentially complete.^[37] However, the converses of the above implications are generally false.^[37] There exists a sequentially complete locally convex TVS that is not quasi-complete.^[29]

If a TVS has a complete neighborhood of the origin then it is complete.^[38] Every complete pseudometrizable TVS is a barrelled space and a Baire space (and thus non-meager).^[39] The dimension of a complete metrizable TVS is either finite or uncountable.^[19]

Any neighborhood basis of any point in a TVS is a Cauchy prefilter.

Every convergent net (respectively, prefilter) in a TVS is necessarily a Cauchy net (respectively, a Cauchy prefilter).^[6] Any prefilter that is subordinate to (that is, finer than) a Cauchy prefilter is necessarily also a Cauchy prefilter^[6] and any prefilter finer than a Cauchy prefilter is also a Cauchy prefilter. The filter associated with a sequence in a TVS is Cauchy if and only if the sequence is a Cauchy sequence. Every convergent prefilter is a Cauchy prefilter.

If ${\displaystyle X}$ is a TVS and if ${\displaystyle x\in X}$ is a cluster point of a Cauchy net (respectively, Cauchy prefilter), then that Cauchy net (respectively, that Cauchy prefilter) converges to ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X.}$^[3] If a Cauchy filter in a TVS has an accumulation point ${\displaystyle x}$ then it converges to ${\displaystyle x.}$

Uniformly continuous maps send Cauchy nets to Cauchy nets.^[3] A Cauchy sequence in a Hausdorff TVS ${\displaystyle X,}$ when considered as a set, is not necessarily relatively compact (that is, its closure in ${\displaystyle X}$ is not necessarily compact^{[note 9]}) although it is precompact (that is, its closure in the completion of ${\displaystyle X}$ is compact).

Every Cauchy sequence is a bounded subset but this is not necessarily true of Cauchy net. For example, let ${\displaystyle \mathbb {N} }$ have it usual order, let ${\displaystyle \,\leq \,}$ denote any preorder on the non-indiscrete TVS ${\displaystyle X}$ (that is, ${\displaystyle X}$ does not have the trivial topology; it is also assumed that ${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$) and extend these two preorders to the union ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N} }$ by declaring that ${\displaystyle x\leq n}$ holds for every ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Let ${\displaystyle f:I\to X}$ be defined by ${\displaystyle f(i)=i}$ if ${\displaystyle i\in X}$ and ${\displaystyle f(i)=0}$ otherwise (that is, if ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$), which is a net in ${\displaystyle X}$ since the preordered set ${\displaystyle (I,\leq )}$ is directed (this preorder on ${\displaystyle I}$ is also partial order (respectively, a total order) if this is true of ${\displaystyle (X,\leq )}$). This net ${\displaystyle f}$ is a Cauchy net in ${\displaystyle X}$ because it converges to the origin, but the set ${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$ is not a bounded subset of ${\displaystyle X}$ (because ${\displaystyle X}$ does not have the trivial topology).

Suppose that ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ is a family of TVSs and that ${\displaystyle X}$ denotes the product of these TVSs. Suppose that for every index ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$is a prefilter on ${\displaystyle X_{i}.}$ Then the product of this family of prefilters is a Cauchy filter on ${\displaystyle X}$ if and only if each ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$is a Cauchy filter on ${\displaystyle X_{i}.}$^[17]

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is an injective topological homomorphism from a complete TVS into a Hausdorff TVS then the image of ${\displaystyle f}$ (that is, ${\displaystyle f(X)}$) is a closed subspace of ${\displaystyle Y.}$^[34] If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a topological homomorphism from a complete metrizable TVS into a Hausdorff TVS then the range of ${\displaystyle f}$ is a closed subspace of ${\displaystyle Y.}$^[34] If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a uniformly continuous map between two Hausdorff TVSs then the image under ${\displaystyle f}$ of a totally bounded subset of ${\displaystyle X}$ is a totally bounded subset of ${\displaystyle Y.}$^[40]

Uniformly continuous extensions

Suppose that ${\displaystyle f:D\to Y}$ is a uniformly continuous map from a dense subset ${\displaystyle D}$ of a TVS ${\displaystyle X}$ into a complete Hausdorff TVS ${\displaystyle Y.}$ Then ${\displaystyle f}$ has a unique uniformly continuous extension to all of ${\displaystyle X.}$^[3] If in addition ${\displaystyle f}$ is a homomorphism then its unique uniformly continuous extension is also a homomorphism.^[3] This remains true if "TVS" is replaced by "commutative topological group."^[3] The map ${\displaystyle f}$ is not required to be a linear map and that ${\displaystyle D}$ is not required to be a vector subspace of ${\displaystyle X.}$

Uniformly continuous linear extensions

Suppose ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a continuous linear operator between two Hausdorff TVSs. If ${\displaystyle M}$ is a dense vector subspace of ${\displaystyle X}$ and if the restriction ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ to ${\displaystyle M}$ is a topological homomorphism then ${\displaystyle f:X\to Y}$ is also a topological homomorphism.^[41] So if ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$ are Hausdorff completions of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y,}$ respectively, and if ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a topological homomorphism, then ${\displaystyle f}$'s unique continuous linear extension ${\displaystyle F:C\to D}$ is a topological homomorphism. (Note that it's possible for ${\displaystyle f:X\to Y}$ to be surjective but for ${\displaystyle F:C\to D}$ to not be injective.)^[41]

Suppose ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are Hausdorff TVSs, ${\displaystyle M}$ is a dense vector subspace of ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle N}$ is a dense vector subspaces of ${\displaystyle Y.}$ If ${\displaystyle M}$ are and ${\displaystyle N}$ are topologically isomorphic additive subgroups via a topological homomorphism ${\displaystyle f}$ then the same is true of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ via the unique uniformly continuous extension of ${\displaystyle f}$ (which is also a homeomorphism).^[42]

Complete subsets

Every complete subset of a TVS is sequentially complete. A complete subset of a Hausdorff TVS ${\displaystyle X}$ is a closed subset of ${\displaystyle X.}$^[3][38]

Every compact subset of a TVS is complete (even if the TVS is not Hausdorff or not complete).^[3][38] Closed subsets of a complete TVS are complete; however, if a TVS ${\displaystyle X}$ is not complete then ${\displaystyle X}$ is a closed subset of ${\displaystyle X}$ that is not complete. The empty set is complete subset of every TVS. If ${\displaystyle C}$ is a complete subset of a TVS (the TVS is not necessarily Hausdorff or complete) then any subset of ${\displaystyle C}$ that is closed in ${\displaystyle C}$ is complete.^[38]

Topological complements

If ${\displaystyle X}$ is a non-normable Fréchet space on which there exists a continuous norm then ${\displaystyle X}$ contains a closed vector subspace that has no topological complement.^[29] If ${\displaystyle X}$ is a complete TVS and ${\displaystyle M}$ is a closed vector subspace of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle X/M}$ is not complete, then ${\displaystyle H}$ does not have a topological complement in ${\displaystyle X.}$^[29]

Subsets of completions

Let ${\displaystyle M}$ be a separable locally convex metrizable topological vector space and let ${\displaystyle C}$ be its completion. If ${\displaystyle S}$ is a bounded subset of ${\displaystyle C}$ then there exists a bounded subset ${\displaystyle R}$ of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$^[29]

Relation to compact subsets

A subset of a TVS (not assumed to be Hausdorff or complete) is compact if and only if it is complete and totally bounded.^{[43][proof 2]} Thus a closed and totally bounded subset of a complete TVS is compact.^[44][3]

In a Hausdorff locally convex TVS, the convex hull of a precompact set is again precompact.^[45] Consequently, in a complete locally convex Hausdorff TVS, the closed convex hull of a compact subset is again compact.^[46]

The convex hull of compact subset of a Hilbert space is not necessarily closed and so also not necessarily compact. For example, let ${\displaystyle H}$ be the separable Hilbert space ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ of square-summable sequences with the usual norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ and let ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ be the standard orthonormal basis (that is ${\displaystyle 1}$ at the ${\displaystyle n^{\text{th}}}$-coordinate). The closed set ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}}$ is compact but its convex hull ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ is not a closed set because ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ belongs to the closure of ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ in ${\displaystyle H}$ but ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ (since every sequence ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ is a finite convex combination of elements of ${\displaystyle S}$ and so is necessarily ${\displaystyle 0}$ in all but finitely many coordinates, which is not true of ${\displaystyle h}$).^[47] However, like in all complete Hausdorff locally convex spaces, the closed convex hull ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ of this compact subset is compact.^[46] The vector subspace ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ is a pre-Hilbert space when endowed with the substructure that the Hilbert space ${\displaystyle H}$ induces on it but ${\displaystyle X}$ is not complete and ${\displaystyle h\not \in K\cap X}$ (since ${\displaystyle h\not \in X}$). The closed convex hull of ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle X}$ (here, "closed" means with respect to ${\displaystyle X,}$ and not to ${\displaystyle H}$ as before) is equal to ${\displaystyle K\cap X,}$ which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might fail to be compact (although it will be precompact/totally bounded).

Every complete totally bounded set is relatively compact.^[3] If ${\displaystyle X}$ is any TVS then the quotient map ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ is a closed map^[48] and thus ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ A subset ${\displaystyle S}$ of a TVS ${\displaystyle X}$ is totally bounded if and only if its image under the canonical quotient map ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ is totally bounded.^[19] Thus ${\displaystyle S}$ is totally bounded if and only if ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ is totally bounded. In any TVS, the closure of a totally bounded subset is again totally bounded.^[3] In a locally convex space, the convex hull and the disked hull of a totally bounded set is totally bounded.^[36] If ${\displaystyle S}$ is a subset of a TVS ${\displaystyle X}$ such that every sequence in ${\displaystyle S}$ has a cluster point in ${\displaystyle S}$ then ${\displaystyle S}$ is totally bounded.^[19] A subset ${\displaystyle S}$ of a Hausdorff TVS ${\displaystyle X}$ is totally bounded if and only if every ultrafilter on ${\displaystyle S}$ is Cauchy, which happens if and only if it is pre-compact (that is, its closure in the completion of ${\displaystyle X}$ is compact).^[40]

If ${\displaystyle S\subseteq X}$ is compact, then ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ and this set is compact. Thus the closure of a compact set is compact^{[note 10]} (that is, all compact sets are relatively compact).^[49] Thus the closure of a compact set is compact. Every relatively compact subset of a Hausdorff TVS is totally bounded.^[40]

In a complete locally convex space, the convex hull and the disked hull of a compact set are both compact.^[36] More generally, if ${\displaystyle K}$ is a compact subset of a locally convex space, then the convex hull ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ (resp. the disked hull ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$) is compact if and only if it is complete.^[36] Every subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ is compact and thus complete.^{[proof 3]} In particular, if ${\displaystyle X}$ is not Hausdorff then there exist compact complete sets that are not closed.^[3]

• Complete metric space – Metric geometry
• Filter (set theory) – Family of sets representing "large" sets
• Filters in topology – Use of filters to describe and characterize all basic topological notions and results.
• Metrizable topological vector space – A topological vector space whose topology can be defined by a metric
• Pseudometric space – Generalization of metric spaces in mathematics
• Quasi-complete space – A topological vector space in which every closed and bounded subset is complete
• Sequentially complete
• Topological group – Group that is a topological space with continuous group action
• Uniform space – Topological space with a notion of uniform properties

Proofs

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