Espacio compacto secuencial

En matemáticas , un espacio topológico${\displaystyle X}$es secuencialmente compacto si cada secuencia de puntos en${\displaystyle X}$tiene una subsecuencia convergente que converge a un punto en${\displaystyle X}$.

Todo espacio métrico es, por naturaleza, un espacio topológico, y para los espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad secuencial son equivalentes (utilizando el axioma de elección numerable ). Sin embargo, existen espacios topológicos secuencialmente compactos que no son compactos, y espacios topológicos compactos que no son secuencialmente compactos.

El espacio de todos los números reales con la topología estándar no es secuencialmente compacto; la secuencia${\displaystyle (s_{n})}$dado por${\displaystyle s_{n}=n}$para todos los números naturales${\displaystyle n}$es una secuencia que no tiene subsecuencias convergentes.

En un primer espacio numerable , una secuencia${\displaystyle x_{n}}$tiene una subsecuencia convergente si y solo si

${\displaystyle \bigcap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}}$

no es vacío. De hecho, un límite de una subsucesión convergente está necesariamente en la intersección anterior (esta dirección se cumple para cualquier espacio topológico). Recíprocamente, si${\displaystyle x}$está en la intersección anterior, entonces sea${\displaystyle x\in \cdots \subset U_{2}\subset U_{1}}$ser una base vecinal contable en${\displaystyle x}$. Luego, por inducción, elija números enteros${\displaystyle n_{i}>0}$de tal manera que${\displaystyle n_{i}}$es el menor entero con la propiedad (1)${\displaystyle n_{i}>n_{i-1}}$y (2)${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{i}}$, lo cual es posible ya que${\displaystyle \mathbb {N} }$es un conjunto bien ordenado . Entonces${\displaystyle x_{n_{j}}\to x}$.

Un punto en la intersección anterior se denomina punto de agrupamiento . Por lo tanto, para espacios numerables de primer orden, la definición de un espacio secuencialmente compacto es equivalente a decir que cada secuencia en el espacio tiene un punto de agrupamiento.

Si un espacio es un espacio métrico , entonces es secuencialmente compacto si y solo si es compacto (cf. Teorema de Heine-Borel §  Generalización ). ^{[ 1 ]} He aquí cómo ver esto, usando solo la elección numerable . Tenemos que demostrar que "secuencialmente compacto" implica "compacto". Primero, observamos${\displaystyle X}$está totalmente limitado, lo que significa que para cada${\displaystyle \epsilon >0}$, existe una cobertura finita de${\displaystyle X}$que consta de bolas abiertas de radio${\displaystyle \epsilon }$De hecho, si falla para algunos${\displaystyle \epsilon }$, por elección contable, elige una secuencia${\displaystyle x_{n}}$de tal manera que

${\displaystyle x_{n}\not \in B(x_{1},\epsilon )\cup \cdots \cup B(x_{n-1},\epsilon ).}$

Esta secuencia${\displaystyle x_{n}}$no tiene subsecuencia convergente, lo cual es una contradicción. De ello se deduce que${\displaystyle X}$tiene una base contable. Por lo tanto, basta con demostrar${\displaystyle X}$es numerablemente compacto; es decir, cada secuencia descendente${\displaystyle E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$de subconjuntos cerrados no vacíos tiene intersección no vacía. Pero esto es claro ya que

${\displaystyle \emptyset \neq \cap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}\subset \cap _{n}E_{n}}$

para alguna secuencia${\displaystyle x_{n}}$con${\displaystyle x_{n}\in E_{n}}$.${\displaystyle \square }$

El primer ordinal no numerable con la topología de orden es un ejemplo de un espacio topológico secuencialmente compacto que no es compacto. El producto topológico de${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}={\mathfrak {c}}}$Las copias del intervalo unitario cerrado son un ejemplo de un espacio compacto que no es secuencialmente compacto. ^{[ 2 ]}

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que es compacto de punto límite si cada subconjunto infinito de${\displaystyle X}$tiene un punto límite en${\displaystyle X}$y numerablemente compacto si toda cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita. En un espacio métrico , las nociones de compacidad secuencial, compacidad de punto límite, compacidad numerable y compacidad son todas equivalentes (si se asume el axioma de elección ).

En un espacio secuencial (de Hausdorff), la compacidad secuencial es equivalente a la compacidad numerable. ^{[ 3 ]}

También existe la noción de compactificación secuencial de un punto; la idea es que todas las secuencias no convergentes deberían converger al punto adicional. ^{[ 4 ]}

• Teorema de Bolzano-Weierstrass : Una sucesión acotada en un espacio euclidiano de dimensión finita tiene una subsucesión convergente. 
• Espacio de Fréchet-Urysohn : un tipo de espacio topológico. 
• Mapas de cobertura de secuencias
• Espacio secuencial – Espacio topológico caracterizado por secuencias 

• Munkres, James (1999). Topología (2.ª  ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr.; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.