Punto límite compacto

En matemáticas, se dice que un espacio topológico es compacto en puntos límite ^{[1] [2]} o débilmente numerable ^[3] si cada subconjunto infinito de tiene un punto límite en Esta propiedad generaliza una propiedad de los espacios compactos . En un espacio métrico , la compacidad en puntos límite, la compacidad y la compacidad secuencial son todas equivalentes. Sin embargo, para los espacios topológicos generales, estas tres nociones de compacidad no son equivalentes. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$

• En un espacio topológico, los subconjuntos sin punto límite son exactamente aquellos que son cerrados y discretos en la topología del subespacio. Por lo tanto, un espacio es compacto en puntos límite si y solo si todos sus subconjuntos discretos cerrados son finitos.
• Un espacio no es compacto en puntos límite si y solo si tiene un subespacio discreto cerrado infinito. Dado que cualquier subconjunto de un subconjunto discreto cerrado de es a su vez cerrado en y discreto, esto es equivalente a exigir que tenga un subespacio discreto cerrado infinito numerable.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$
• Algunos ejemplos de espacios que no son compactos en puntos límite: (1) El conjunto de todos los números reales con su topología usual, ya que los enteros son un conjunto infinito pero no tienen un punto límite en ; (2) un conjunto infinito con la topología discreta; (3) la topología de complemento contable sobre un conjunto incontable.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$
• Todo espacio numerablemente compacto (y por tanto todo espacio compacto) es compacto en el punto límite.
• Para espacios T ₁ , la compacidad del punto límite es equivalente a la compacidad contable.
• Un ejemplo de espacio compacto en puntos límite que no es numerablemente compacto se obtiene "duplicando los números enteros", es decir, tomando el producto donde es el conjunto de todos los números enteros con la topología discreta y tiene la topología indiscreta . El espacio es homeomorfo a la topología impar-par . ^[4] Este espacio no es T ₀ . Es compacto en puntos límite porque cada subconjunto no vacío tiene un punto límite.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle Y=\{0,1\}}$${\estilo de visualización X}$
• Un ejemplo de espacio T ₀ que es compacto en puntos límite y no numerablemente compacto es el conjunto de todos los números reales, con la topología de orden correcto , es decir, la topología generada por todos los intervalos ^[5] El espacio es compacto en puntos límite porque dado cualquier punto cada es un punto límite de${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle (x,\infty).}$${\displaystyle a\en X,}$${\displaystyle x<a}$${\displaystyle \{a\}.}$
• Para espacios metrizables, la compacidad, la compacidad contable, la compacidad del punto límite y la compacidad secuencial son todas equivalentes.
• Los subespacios cerrados de un espacio compacto en puntos límite son compactos en puntos límite.
• La imagen continua de un espacio compacto en puntos límites no tiene por qué serlo necesariamente. Por ejemplo, si se trata de discretos e indiscretos como en el ejemplo anterior, la función dada por proyección sobre la primera coordenada es continua, pero no es compacta en puntos límites.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle f(X)=\mathbb {Z}}$
• Un espacio compacto de puntos límite no necesita ser pseudocompacto . Un ejemplo lo da el mismo con un espacio de dos puntos indiscreto y la función cuya imagen no está acotada en${\displaystyle X=\mathbb {Z} \times Y}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z} },}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Un espacio pseudocompacto no necesita ser compacto en cuanto a puntos límite. Un ejemplo lo da un conjunto incontable con la topología cocontable .
• Todo espacio pseudocompacto normal es compacto en puntos límite. ^[6]
  Demostración : Supóngase que es un espacio normal que no es compacto en puntos límite. Existe un subconjunto discreto cerrado infinito numerable de Por el teorema de extensión de Tietze la función continua en definida por puede extenderse a una función continua de valor real (ilimitada) en todos los de Por lo tanto no es pseudocompacto.${\estilo de visualización X}$${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\lpuntos \}}$${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle f(x_{n})=n}$${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización X}$
• Los espacios compactos de punto límite tienen extensión contable .
• Si y son espacios topológicos con un punto límite más fino que y es compacto, entonces también lo es${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\sigma )}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle (X,\sigma )}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Espacio numerablemente compacto  : espacio topológico en el que de cada cubierta abierta numerable del espacio se puede extraer una cubierta finitaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio secuencialmente compacto  : espacio topológico donde cada secuencia tiene una subsecuencia convergente

• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur (1995) [Publicado por primera vez en 1978 por Springer-Verlag, Nueva York]. Contraejemplos en topología . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.OCLC 32311847  .
• Este artículo incorpora material de Weakly countably compact en PlanetMath , que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual .