Espacio secuencialmente compacto

En matemáticas , un espacio topológico X es secuencialmente compacto si cada secuencia de puntos en X tiene una subsecuencia convergente que converge a un punto en . ${\estilo de visualización X}$

Todo espacio métrico es naturalmente un espacio topológico y, para los espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad secuencial son equivalentes (si se supone que hay elección numerable ). Sin embargo, existen espacios topológicos secuencialmente compactos que no son compactos y espacios topológicos compactos que no son secuencialmente compactos.

El espacio de todos los números reales con la topología estándar no es secuencialmente compacto; la secuencia dada por para todos los números naturales es una secuencia que no tiene subsecuencia convergente. ${\displaystyle (s_{n})}$${\displaystyle s_{n}=n}$ ${\estilo de visualización n}$

Si un espacio es un espacio métrico , entonces es secuencialmente compacto si y solo si es compacto . ^[1] El primer ordinal incontable con la topología de orden es un ejemplo de un espacio topológico secuencialmente compacto que no es compacto. El producto de copias del intervalo unitario cerrado es un ejemplo de un espacio compacto que no es secuencialmente compacto. ^[2]${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}={\mathfrak {c}}}$

Se dice que un espacio topológico es compacto en puntos límite si cada subconjunto infinito de tiene un punto límite en , y compacto numerable si cada cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita. En un espacio métrico , las nociones de compacidad secuencial, compacidad en puntos límite, compacidad numerable y compacidad son todas equivalentes (si se supone el axioma de elección ). ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

En un espacio secuencial (Hausdorff), la compacidad secuencial es equivalente a la compacidad contable. ^[3]

También existe la noción de compactificación secuencial de un punto: la idea es que todas las secuencias no convergentes deberían converger al punto extra. ^[4]

• Teorema de Bolzano-Weierstrass  : una secuencia acotada en un espacio euclidiano de dimensión finita tiene una subsecuencia convergente
• Espacio de Fréchet-Urysohn  – Propiedad del espacio topológico
• Mapas de cobertura de secuencias
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias

• Munkres, James (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr. ; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.