Axioma de elección contable

El axioma de elección numerable o axioma de elección numerable , denotado AC _ω , es un axioma de la teoría de conjuntos que establece que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección . Es decir, dada una función con dominio (donde denota el conjunto de números naturales ) tal que es un conjunto no vacío para cada , existe una función con dominio tal que para cada . ${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle f(n)\en A(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$

AC _ω es particularmente útil para el desarrollo del análisis matemático , donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección contable de conjuntos de números reales . Por ejemplo, para demostrar que cada punto de acumulación de un conjunto es el límite de alguna secuencia de elementos de , se necesita (una forma débil de) el axioma de elección contable. Cuando se formula para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios , la afirmación se vuelve equivalente a AC _ω . ${\estilo de visualización x}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R}}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

La capacidad de realizar análisis utilizando la elección contable ha llevado a la inclusión de AC _ω como un axioma en algunas formas de matemáticas constructivas , a pesar de su afirmación de que existe una función de elección sin construirla. ^[1]

Como ejemplo de una aplicación de AC _ω , aquí hay una prueba (de ZF  + AC _ω ) de que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito : ^[2]

Sea infinito. Para cada número natural , sea el conjunto de todas las -tuplas de elementos distintos de . Como es infinito, cada una no está vacía. La aplicación de AC _ω produce una secuencia donde cada una es una -tupla. Luego, se pueden concatenar estas tuplas en una única secuencia de elementos de , posiblemente con elementos repetidos. La supresión de repeticiones produce una secuencia de elementos distintos, donde ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización A_{n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización A_{n}$${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$$Estilo de visualización B_{n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$

$Estilo de visualización c_{n}=b_{k}}$, con .${\displaystyle k=\min\{i\mid \para todos _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

Esto existe porque al seleccionar no es posible que todos los elementos de estén entre los elementos seleccionados previamente. Por lo tanto, contiene un conjunto contable. La función que asigna cada uno a (y deja todos los demás elementos de fijos) es una función biunívoca de en que no es sobre, lo que demuestra que es Dedekind-infinito. ^[2]${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización c_{n}$$Estilo de visualización B_{n+1}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización c_{n}$$estilo de visualización c_{n+1}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

El axioma de elección contable (AC _ω ) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), ^[3] que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). DC, y por lo tanto también AC _ω , se cumplen en el modelo de Solovay , construido en 1970 por Robert M. Solovay como un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de elección completo, en el que todos los conjuntos de números reales son mensurables. ^[4]

El lema de Urysohn (UL) y el teorema de extensión de Tietze (TET) son independientes de ZF+AC _ω : existen modelos de ZF+AC _ω en los que UL y TET son verdaderos, y modelos en los que son falsos. Tanto UL como TET están implícitos en DC. ^[5]

Paul Cohen demostró que AC _ω no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección. ^[6] Sin embargo, se puede demostrar que algunos conjuntos numerablemente infinitos de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Por ejemplo, tiene una función de elección, donde es el conjunto de conjuntos finitos hereditarios , es decir, el primer conjunto en el universo de Von Neumann de rango no finito. La función de elección es (trivialmente) el menor elemento en el buen ordenamiento. Otro ejemplo es el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números reales con puntos finales racionales. ${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _ω es suficiente para demostrar que la unión de un número contable de conjuntos contables es contable. Estas afirmaciones no son equivalentes: el primer modelo de Cohen proporciona un ejemplo en el que las uniones contables de conjuntos contables son contables, pero en el que AC _ω no se cumple. ^[7]

Existen muchas formas equivalentes del axioma de elección numerable, en el sentido de que cualquiera de ellas puede probarse en ZF suponiendo cualquier otra de ellas. Entre ellas se incluyen las siguientes: ^{[8] [9]}

• Toda colección contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. ^[8]
• Toda colección infinita de conjuntos no vacíos tiene una subcolección infinita con una función de elección. ^[8]
• Todo espacio σ-compacto (la unión de un número contable de espacios compactos ) es un espacio de Lindelöf (cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable). ^[8] Un espacio métrico es σ-compacto si y solo si es Lindelöf. ^[9]
• Todo espacio contable de segundo orden (tiene una base contable de conjuntos abiertos) es un espacio separable (tiene un subconjunto denso contable). ^[8] Un espacio métrico es separable si y sólo si es σ-compacto. ^[9]
• Toda función de valor real secuencialmente continua en un espacio métrico es una función continua . ^[8]
• Cada punto de acumulación de un subconjunto de un espacio métrico es un límite de una secuencia de puntos del subconjunto. ^[9]
• El lema de Rasiowa-Sikorski MA , una forma contable del axioma de Martin : en un preorden con la condición de cadena contable , cada familia contable de subconjuntos densos tiene un filtro que interseca todos los subconjuntos. (En este contexto, un conjunto se denomina denso si cada elemento del preorden tiene un límite inferior en el conjunto). ^[8]${\displaystyle (\aleph _{0})}$

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