Espacio secuencial

En topología y campos matemáticos afines , un espacio secuencial es un espacio topológico cuya topología puede caracterizarse completamente mediante sus secuencias convergentes/divergentes. Se pueden concebir como espacios que satisfacen un axioma de numerabilidad muy débil , y todos los espacios primeramente numerables (en particular, los espacios métricos ) son secuenciales.

En cualquier espacio topológico${\displaystyle (X,\tau ),}$si una sucesión convergente está contenida en un conjunto cerrado${\displaystyle C,}$entonces el límite de esa secuencia debe estar contenido en${\displaystyle C}$Asimismo, los conjuntos con esta propiedad se conocen como secuencialmente cerrados . Los espacios secuenciales son precisamente aquellos espacios topológicos para los que los conjuntos secuencialmente cerrados son, de hecho, cerrados. (Estas definiciones también pueden reformularse en términos de conjuntos secuencialmente abiertos; véase más adelante). Dicho de otro modo, cualquier topología puede describirse en términos de redes (también conocidas como secuencias de Moore-Smith), pero esas secuencias pueden ser "demasiado largas" (indexadas por un ordinal demasiado grande) para comprimirlas en una secuencia. Los espacios secuenciales son aquellos espacios topológicos para los que las redes de longitud numerable (es decir, secuencias) son suficientes para describir la topología.

Cualquier topología puede refinarse (es decir, hacerse más fina) a una topología secuencial, llamada correflexión secuencial de${\displaystyle X.}$

Los conceptos relacionados de espacios de Fréchet-Urysohn , espacios T -secuenciales y${\displaystyle N}$Los espacios secuenciales también se definen en términos de cómo la topología de un espacio interactúa con las secuencias, pero tienen propiedades sutilmente diferentes.

Espacios secuenciales y${\displaystyle N}$Los espacios secuenciales fueron introducidos por SP Franklin . ^{[ 1 ]}

Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se habían estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe a S.P. Franklin en 1965. Franklin quería determinar "las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente conociendo sus sucesiones convergentes" y comenzó investigando los espacios numerables de primer orden , para los cuales ya se sabía que las sucesiones eran suficientes. Posteriormente, Franklin llegó a la definición moderna abstraiendo las propiedades necesarias de los espacios numerables de primer orden.

Dejar${\displaystyle X}$ser un conjunto y dejar${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ser una secuencia en${\displaystyle X}$; es decir, una familia de elementos de${\displaystyle X}$, indexados por los números naturales . En este artículo,${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$significa que cada elemento en la secuencia${\displaystyle x_{\bullet }}$es un elemento de${\displaystyle S,}$y, si${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa, entonces${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$Para cualquier índice${\displaystyle i,}$la cola de${\displaystyle x_{\bullet }}$comenzando en${\displaystyle i}$es la secuencia$${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$Una secuencia${\displaystyle x_{\bullet }}$está finalmente en${\displaystyle S}$si alguna cola de${\displaystyle x_{\bullet }}$Satisface${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Dejar${\displaystyle \tau }$ser una topología en${\displaystyle X}$y${\displaystyle x_{\bullet }}$una secuencia en ella. La secuencia${\displaystyle x_{\bullet }}$converge a un punto${\displaystyle x\in X,}$escrito${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$(cuando el contexto lo permite,${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$), si, para cada vecindario${\displaystyle U\in \tau }$de${\displaystyle x,}$eventualmente${\displaystyle x_{\bullet }}$está en${\displaystyle U.}$${\displaystyle x}$entonces se denomina punto límite de${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Una función${\displaystyle f:X\to Y}$entre espacios topológicos es secuencialmente continuo si${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$implica${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

Dejar${\displaystyle (X,\tau )}$sea ​​un espacio topológico y dejemos que${\displaystyle S\subsetequ X}$ser un subconjunto. El cierre topológico (resp. interior topológico ) de${\displaystyle S}$en${\displaystyle (X,\tau )}$se denota por${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(resp.${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$).

El cierre secuencial de${\displaystyle S}$en${\displaystyle (X,\tau )}$es el conjunto$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{existe una sucesión }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ tal que }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$que define un mapa, el operador de cierre secuencial , en el conjunto potencia de${\displaystyle X.}$Si es necesario para mayor claridad, este conjunto también puede escribirse${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$o${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$Siempre es así que${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$pero lo contrario puede fallar.

El interior secuencial de${\displaystyle S}$en${\displaystyle (X,\tau )}$es el conjunto$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{siempre que }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ y }}x_{\bullet }\to s,{\text{ entonces }}x_{\bullet }{\text{ finalmente está en }}S\}}$$(el espacio topológico se indica nuevamente con un subíndice si es necesario).

El cierre secuencial y el interior satisfacen muchas de las buenas propiedades del cierre topológico y el interior: para todos los subconjuntos${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$y${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$y${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$;
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; y
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

Es decir, el cierre secuencial es un operador de precierre . A diferencia del cierre topológico, el cierre secuencial no es idempotente : la última contención puede ser estricta. Por lo tanto, el cierre secuencial no es un operador de cierre ( Kuratowski ) .

Como se mencionó anteriormente, el cierre secuencial no es en general idempotente y, por lo tanto, no es el operador de cierre de una topología. Se puede obtener un cierre secuencial idempotente mediante iteración transfinita : para un ordinal sucesor${\displaystyle \alpha +1,}$definir (como de costumbre)$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$y, para un ordinal límite${\displaystyle \alpha ,}$definir$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$Este proceso da como resultado una secuencia creciente de conjuntos indexada ordinalmente; como se ha comprobado, esa secuencia siempre se estabiliza por índice.${\displaystyle \omega _{1}}$(el primer ordinal incontable ). Por el contrario, el orden secuencial de${\displaystyle X}$es el ordinal mínimo en el que, para cualquier elección de${\displaystyle S,}$La secuencia anterior se estabilizará. ^{[ 2 ]}

El cierre secuencial transfinito de${\displaystyle S}$es el conjunto de terminales en la secuencia anterior:${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$El operador${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$es idempotente y, por lo tanto, un operador de cierre . En particular, define una topología, la correflexión secuencial. En la correflexión secuencial, todo conjunto secuencialmente cerrado es cerrado (y todo conjunto secuencialmente abierto es abierto). ^{[ 3 ]}

Un espacio T -secuencial es un espacio topológico con orden secuencial 1, que es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones: ^{[ 1 ]}

• El cierre secuencial (o interior) de cada subconjunto de${\displaystyle X}$se cierra secuencialmente (o se abre).
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$o${\displaystyle \operatorname {sint} }$son idempotentes.
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$o${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Cualquier vecindario secuencial de${\displaystyle x\in X}$puede reducirse a un conjunto secuencialmente abierto que contiene${\displaystyle x}$; formalmente, los vecindarios abiertos secuencialmente son una base de vecindario para los vecindarios secuenciales.
• Para cualquier${\displaystyle x\in X}$y cualquier vecindario secuencial${\displaystyle N}$de${\displaystyle x,}$existe un vecindario secuencial${\displaystyle M}$de${\displaystyle x}$de tal manera que, para cada${\displaystyle m\in M,}$el conjunto${\displaystyle N}$es un vecindario secuencial de${\displaystyle m.}$

Ser un espacio T -secuencial es incomparable con ser un espacio secuencial; hay espacios secuenciales que no son T- secuenciales y viceversa. Sin embargo, un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$se llama un${\displaystyle N}$-secuencial (o vecindad-secuencial ) si es tanto secuencial como T -secuencial. Una condición equivalente es que cada vecindad secuencial contiene una vecindad abierta (clásica). ^{[ 1 ]}

Todo espacio numerable de primer orden (y por lo tanto todo espacio metrizable ) es${\displaystyle N}$-secuenciales. Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no${\displaystyle N}$-secuencial (y por lo tanto no T -secuencial). ^{[ 1 ]}

Cada complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico.

El espectro primo de un anillo noetheriano conmutativo con la topología de Zariski es secuencial. ^{[ 7 ]}

Toma la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$e identificar el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros hasta un punto. Como cociente de un espacio métrico, el resultado es secuencial, pero no es numerable en primer lugar.

Todo espacio numerable de primer orden es de Fréchet-Urysohn y todo espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Por lo tanto, todo espacio metrizable o pseudometrizable —en particular, todo espacio numerable de segundo orden , espacio métrico o espacio discreto— es secuencial.  

Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ser un conjunto de mapas de espacios de Fréchet-Urysohn a${\displaystyle X.}$Luego la topología final que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$induce en${\displaystyle X}$es secuencial.

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y solo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Cada espacio secuencial tiene una estrechez contable y se genera de forma compacta .

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una sobreyección abierta continua entre dos espacios secuenciales de Hausdorff entonces el conjunto${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$de puntos con preimagen única es cerrado. (Por continuidad, también lo es su preimagen en${\displaystyle X,}$el conjunto de todos los puntos en los que${\displaystyle f}$es inyectivo.)

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una aplicación sobreyectiva (no necesariamente continua) sobre un espacio secuencial de Hausdorff${\displaystyle Y}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$bases para la topología en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa abierto si y solo si, para cada${\displaystyle x\in X,}$vecindario básico${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de${\displaystyle x,}$y secuencia${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$en${\displaystyle Y,}$hay una subsecuencia de${\displaystyle y_{\bullet }}$que eventualmente está en ${\displaystyle f(B).}$

La subcategoría completa Seq de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:

La categoría Seq no está cerrada bajo las siguientes operaciones en Top :

Dado que son cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, los espacios secuenciales forman una subcategoría correflectiva de la categoría de espacios topológicos . De hecho, son la envoltura correflectiva de los espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes que contienen los espacios metrizables).

La subcategoría Seq es una categoría cartesiana cerrada con respecto a su propio producto (no al de Top ). Los objetos exponenciales están equipados con la topología abierta (de secuencia convergente).

PI Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cartesiana cerrada más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos , complejos CW y variedades diferenciables , y que es cerrada bajo colímites, cocientes y otras "ciertas identidades razonables" que Norman Steenrod describió como "convenientes". ^{[ 18 ]}

Todo espacio secuencial es generado de forma compacta , y los productos finitos en Seq coinciden con los de los espacios generados de forma compacta, puesto que los productos en la categoría de espacios generados de forma compacta conservan los cocientes de los espacios métricos.

• Axioma de numerabilidad
• Propiedad de grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. 
• Espacio numerable de primer orden : espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad numerable. 
• Espacio de Fréchet-Urysohn : un tipo de espacio topológico. 
• Mapa de cobertura de secuencias

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