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Articulo de referencia

Mapa de cobertura de secuencias

En matemáticas , específicamente en topología , un mapa de cobertura de secuencias es cualquier mapa entre espacios topológicos cuyas definiciones relacionan de alguna manera se...

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En matemáticas , específicamente en topología , un mapa de cobertura de secuencias es cualquier mapa entre espacios topológicos cuyas definiciones relacionan de alguna manera secuencias en el codominio con secuencias en el dominio . Ejemplos incluyen mapas cociente secuencial , coberturas de secuencias , coberturas de 1-secuencias y coberturas de 2-secuencias . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Estas clases de mapas están estrechamente relacionadas con los espacios secuenciales . Si el dominio y/o el codominio tienen ciertas propiedades topológicas adicionales (a menudo, que los espacios sean Hausdorff y primeramente numerables es más que suficiente), entonces estas definiciones se vuelven equivalentes a otras clases de mapas bien conocidas, como mapas abiertos o mapas cociente , por ejemplo. En estas situaciones, las caracterizaciones de tales propiedades en términos de secuencias convergentes podrían proporcionar beneficios similares a los proporcionados por, digamos, por ejemplo, la caracterización de la continuidad en términos de continuidad secuencial o la caracterización de la compacidad en términos de compacidad secuencial (siempre que tales caracterizaciones sean válidas).

Definiciones

Preliminares

Un subconjuntoS{\displaystyle S}de(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}Se dice que se abre secuencialmente en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}si siempre que una secuencia enincógnita{\displaystyle X}converge (en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}) hasta algún punto que pertenece aS,{\displaystyle S,}entonces esa secuencia necesariamente eventualmente enS{\displaystyle S}(es decir, como máximo un número finito de puntos en la secuencia no pertenecen aS{\displaystyle S}). El conjuntoSeqOpen⁡(incógnita,τ){\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}de todos los subconjuntos secuencialmente abiertos de(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}forma una topología enincógnita{\displaystyle X}eso es mejor queincógnita{\displaystyle X}topología dadaτ.{\displaystyle \tau .} Por definición,(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}se denomina espacio secuencial siτ=SeqOpen⁡(incógnita,τ).{\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).} Dada una secuenciaincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}enincógnita{\displaystyle X}y un puntoincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}incógnita∙→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\to x}en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}si y solo siincógnita∙→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\to x}en(incógnita,SeqOpen⁡(incógnita,τ)).{\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}Además,SeqOpen⁡(incógnita,τ){\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}es la mejor topología enincógnita{\displaystyle X}para lo cual esta caracterización de la convergencia de secuencias en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}sostiene.

Un mapaF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}se denomina secuencialmente continuo siF:(incógnita,SeqOpen⁡(incógnita,τ))→(Y,SeqOpen⁡(Y,σ)){\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}es continua , lo cual sucede si y solo si para cada secuenciaincógnita∙=(incógnitai)i=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}enincógnita{\displaystyle X}y cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}siincógnita∙→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\to x}en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}entonces necesariamenteF(incógnita∙)→F(incógnita){\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}en(Y,σ).{\displaystyle (Y,\sigma ).} Todo mapa continuo es secuencialmente continuo, aunque en general, lo contrario puede no ser cierto. De hecho, un espacio(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}Un espacio es secuencial si y solo si posee la siguiente propiedad universal para espacios secuenciales :

para cada espacio topológico(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}y cada mapaF:incógnita→Y,{\displaystyle f:X\to Y,}el mapaF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es continua si y solo si es secuencialmente continua.

El cierre secuencial en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}de un subconjuntoS⊆incógnita{\displaystyle S\subsetequ X}es el conjuntoscl(incógnita,τ)⁡S{\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}compuesto por todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}para la cual existe una secuencia enS{\displaystyle S}que converge aincógnita{\displaystyle x}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).} Un subconjuntoS⊆incógnita{\displaystyle S\subseteq X}se denomina secuencialmente cerrado en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}siS=scl(incógnita,τ)⁡S,{\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}lo cual sucede si y solo si siempre que una secuencia enS{\displaystyle S}converge en(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}hasta cierto puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}entonces necesariamenteincógnita∈S.{\displaystyle x\in S.} El espacio(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}se denomina espacio de Fréchet-Urysohn sisclincógnita⁡S = clincógnita⁡S{\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}para cada subconjuntoS⊆incógnita,{\displaystyle S\subseteq X,}lo cual sucede si y solo si cada subespacio de(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}es un espacio secuencial. Todo espacio primeramente numerable es un espacio de Fréchet-Urysohn y, por lo tanto, también un espacio secuencial. Todos los espacios pseudometrizables , espacios metrizables y espacios segundamente numerables son primeramente numerables.

Recubrimientos de secuencias

Una secuenciaincógnita∙=(incógnitai)i=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}en un conjuntoincógnita{\displaystyle X}es por definición una funciónincógnita∙:norte→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}cuyo valor eni∈norte{\displaystyle i\in \mathbb {N} }se denota porincógnitai{\displaystyle x_{i}}(aunque la notación habitual utilizada con funciones, como los paréntesis)incógnita∙(i){\displaystyle x_{\bullet }(i)}o composiciónF∘incógnita∙,{\displaystyle f\circ x_{\bullet },}podría usarse en ciertas situaciones para mejorar la legibilidad). Declaraciones como "la secuenciaincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}es inyectivo " o "la imagen (es decir, el rango)Soy⁡incógnita∙{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}de una secuenciaincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}"es infinito", así como otra terminología y notación definida para funciones, pueden aplicarse a secuencias. Una secuencias∙{\displaystyle s_{\bullet }}Se dice que es una subsecuencia de otra secuencia.incógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}si existe un mapa estrictamente crecientel∙:norte→norte{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }(posiblemente denotado porl∙=(lk)k=1∞{\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}en cambio) de tal manera quesk=incógnitalk{\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}por cadak∈norte,{\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}donde esta condición puede expresarse en términos de composición de funciones∘{\displaystyle \circ }como:s∙=incógnita∙∘l∙.{\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.} Como siempre, siincógnital∙=(incógnitalk)k=1∞{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}se declara que es (como por definición) una subsecuencia deincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}entonces debe asumirse inmediatamente quel∙:norte→norte{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }es estrictamente creciente. La notaciónincógnita∙⊆S{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}ySoy⁡incógnita∙⊆S{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}significa que la secuenciaincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}es valorado en el conjuntoS.{\displaystyle S.}

La funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}se llama uncobertura de secuencia si para cada secuencia convergentey∙{\displaystyle y_{\bullet }}enY,{\displaystyle Y,} existe una secuenciaincógnita∙⊆incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}de tal manera quey∙=F∘incógnita∙.{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.} Se llama un1-secuencia que cubre si para caday∈Y{\displaystyle y\in Y}existe algoincógnita∈F−1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}de tal manera que cada secuenciay∙⊆Y{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}que converge ay{\displaystyle y}en(Y,σ),{\displaystyle (Y,\sigma ),}existe una secuenciaincógnita∙⊆incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}de tal manera quey∙=F∘incógnita∙{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}yincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}converge aincógnita{\displaystyle x}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).} Es uncobertura de 2 secuencias siF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es sobreyectiva y también para caday∈Y{\displaystyle y\in Y}y cadaincógnita∈F−1(y),{\displaystyle x\in f^{-1}(y),}cada secuenciay∙⊆Y{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}y converge ay{\displaystyle y}en(Y,σ),{\displaystyle (Y,\sigma ),}existe una secuenciaincógnita∙⊆incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}de tal manera quey∙=F∘incógnita∙{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}yincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}converge aincógnita{\displaystyle x}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).} Un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una cubierta compacta si para cada compactoK⊆Y{\displaystyle K\subseteq Y}existe algún subconjunto compactodo⊆incógnita{\displaystyle C\subseteq X}de tal manera queF(do)=K.{\displaystyle f(C)=K.}

Mapeos de cociente secuencial

En analogía con la definición de continuidad secuencial, un mapaF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}se llama unmapa de cociente secuencial si

F:(incógnita,SeqOpen⁡(incógnita,τ))→(Y,SeqOpen⁡(Y,σ)){\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}

es un mapa cociente , [ 5 ] que ocurre si y solo si para cualquier subconjuntoS⊆Y,{\displaystyle S\subseteq Y,}S{\displaystyle S}se abre secuencialmente(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}si y solo si esto es cierto deF−1(S){\displaystyle f^{-1}(S)}en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).} Los mapas de cociente secuencial fueron introducidos por Boone y Siwiec en 1976, quienes los definieron como se indicó anteriormente. [ 5 ]

Toda aplicación secuencialmente cociente es necesariamente sobreyectiva y secuencialmente continua, aunque puede que no sea continua.F:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es una sobreyección secuencialmente continua cuyo dominio(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}es un espacio secuencial , entoncesF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es un mapa cociente si y solo si(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}es un espacio secuencial yF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es un mapa cociente secuencial.

Llama a un espacio(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}secuencialmente Hausdorff si(Y,SeqOpen⁡(Y,σ)){\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}es un espacio de Hausdorff . [ 6 ] De manera análoga, se puede definir una "versión secuencial" de cualquier otro axioma de separación en términos de si el espacio es o no(Y,SeqOpen⁡(Y,σ)){\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}poseerlo. Todo espacio de Hausdorff es necesariamente secuencialmente de Hausdorff. Un espacio secuencial es de Hausdorff si y solo si es secuencialmente de Hausdorff.

SiF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es una sobreyección secuencialmente continua, entonces suponiendo que(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}Si es secuencialmente Hausdorff, los siguientes son equivalentes:

  1. F:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es secuencialmente cociente.
  2. Cuando seay∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}es una secuencia convergente enY{\displaystyle Y}entonces existe una sucesión convergenteincógnita∙→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\to x}enincógnita{\displaystyle X}de tal manera queF(incógnita)=y{\displaystyle f(x)=y}yF∘incógnita∙{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}es una subsecuencia dey∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}
  3. Cuando seay∙{\displaystyle y_{\bullet }}es una secuencia convergente enY{\displaystyle Y}entonces existe una sucesión convergenteincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}enincógnita{\displaystyle X}de tal manera queF∘incógnita∙{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}es una subsecuencia dey∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}
    • Esta afirmación difiere de (2) anterior únicamente en que no se imponen requisitos sobre los límites de las secuencias (lo cual se convierte en una diferencia importante solo cuandoY{\displaystyle Y}no es secuencialmente Hausdorff).
    • SiF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una sobreyección continua sobre un espacio secuencialmente compactoY{\displaystyle Y}entonces esta condición se mantiene incluso siY{\displaystyle Y}no es secuencialmente Hausdorff.

Si la suposición de queY{\displaystyle Y}Si se eliminara la condición secuencial de Hausdorff, la afirmación (2) seguiría implicando las otras dos afirmaciones, pero la caracterización anterior ya no estaría garantizada (sin embargo, si se requiriera que los puntos en el codominio fueran secuencialmente cerrados, cualquier aplicación secuencialmente cociente necesariamente satisfaría la condición (3)). Esto sigue siendo cierto incluso si el requisito de continuidad secuencial enF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Se reforzó para exigir continuidad (ordinaria). En lugar de usar la definición original, algunos autores definen "mapa cociente secuencial" como una sobreyección continua que satisface la condición (2) o, alternativamente, la condición (3). Si el codominio es secuencialmente Hausdorff, estas definiciones difieren de la original únicamente en el requisito adicional de continuidad (en lugar de simplemente exigir continuidad secuencial).

El mapaF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}se llamapresecuencial si para cada secuencia convergentey∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}en(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}de tal manera quey∙{\displaystyle y_{\bullet }}no es eventualmente igual ay,{\displaystyle y,}el conjunto⋃yi≠yi∈norte,F−1(yi){\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}no se cierra secuencialmente en(incógnita,τ),{\displaystyle (X,\tau ),}[ 5 ] donde este conjunto también puede describirse como:

⋃yi≠yi∈norte,F−1(yi) = F−1((Soy⁡y∙)∖{y}) = F−1(Soy⁡y∙)∖F−1(y){\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}

De forma equivalente,F:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es presecuencial si y solo si para cada secuencia convergentey∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}en(Y,σ){\displaystyle (Y,\sigma )}de tal manera quey∙⊆Y∖{y},{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}el conjuntoF−1(Soy⁡y∙){\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}no se cierra secuencialmente en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}

Un mapa sobreyectivoF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}La relación entre espacios de Hausdorff es secuencialmente cociente si y solo si es secuencialmente continua y una aplicación presecuencial. [ 5 ]

Caracterizaciones

SiF:(incógnita,τ)→(Y,σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}es una sobreyección continua entre dos espacios de Hausdorff numerables de primer orden entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 3 ] [ 4 ]

  • F{\displaystyle f}es casi abierto si y solo si es un recubrimiento de 1 secuencia.
    • Un mapa casi abierto es un mapa sobreyectivo.F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}con la propiedad que para caday∈Y,{\displaystyle y\in Y,}existe algoincógnita∈F−1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}de tal manera queincógnita{\displaystyle x}es un punto de apertura paraF,{\displaystyle f,}lo que por definición significa que para cada vecindario abiertoU{\displaystyle U}deincógnita,{\displaystyle x,}F(U){\displaystyle f(U)}es un barrio deF(incógnita){\displaystyle f(x)}enY.{\displaystyle Y.}
  • F{\displaystyle f}es un mapa abierto si y solo si es una cobertura de 2 secuencias.
  • SiF{\displaystyle f}es un mapa de cobertura compacto entoncesF{\displaystyle f}es un mapa cociente.
  • Los siguientes son equivalentes:
    1. F{\displaystyle f}es un mapa cociente.
    2. F{\displaystyle f}es un mapa cociente secuencial.
    3. F{\displaystyle f}es una cobertura de secuencia.
    4. F{\displaystyle f}es un mapa pseudoabierto.
      • Un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}se denomina pseudoabierto si para caday∈Y{\displaystyle y\in Y}y cada vecindario abiertoU{\displaystyle U}deF−1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}(lo que significa un subconjunto abierto)U{\displaystyle U}de tal manera queF−1(y)⊆U{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U}),y{\displaystyle y}necesariamente pertenece al interior (tomado enY{\displaystyle Y}) deF(U).{\displaystyle f(U).}

    y si además ambosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}Si son espacios métricos separables , entonces a esta lista se le puede agregar:

    1. F{\displaystyle f}es un mapa de cociente hereditario .

Propiedades

La siguiente es una condición suficiente para que una sobreyección continua sea secuencialmente abierta, lo que, con supuestos adicionales, resulta en una caracterización de las aplicaciones abiertas . Supongamos queF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una sobreyección continua desde un espacio regularincógnita{\displaystyle X}en un espacio HausdorffY.{\displaystyle Y.}Si la restricciónF|U:U→F(U){\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}es secuencialmente cociente para cada subconjunto abiertoU{\displaystyle U}deincógnita{\displaystyle X}entoncesF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}mapas abren subconjuntos deincógnita{\displaystyle X}abrir secuencialmente subconjuntos deY.{\displaystyle Y.} En consecuencia, siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}también son espacios secuenciales , entoncesF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es un mapa abierto si y solo siF|U:U→F(U){\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}es secuencialmente cociente (o equivalentemente, cociente ) para cada subconjunto abiertoU{\displaystyle U}deincógnita.{\displaystyle X.}

Dado un elementoy∈Y{\displaystyle y\in Y}en el codominio de una función continua (no necesariamente sobreyectiva)F:incógnita→Y,{\displaystyle f:X\to Y,}lo siguiente proporciona una condición suficiente paray{\displaystyle y}pertenecer aF{\displaystyle f}imagen de:y∈Soy⁡F:=F(incógnita).{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}Una familiaB{\displaystyle {\mathcal {B}}}de subconjuntos de un espacio topológico(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}Se dice que es localmente finito en un punto.incógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si existe algún vecindario abiertoU{\displaystyle U}deincógnita{\displaystyle x}de tal manera que el conjunto{B∈B : U∩B≠∅}{\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}es finito. Supongamos queF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una aplicación continua entre dos espacios de Hausdorff de primer orden numerables y seay∈Y.{\displaystyle y\in Y.} Si existe una secuenciay∙=(yi)i=1∞{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}enY{\displaystyle Y}de tal manera que (1)y∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}y (2) existe algúnincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}de tal manera que{F−1(yi) : i∈norte}{\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}no es localmente finito enincógnita,{\displaystyle x,}entoncesy∈Soy⁡F=F(incógnita).{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).} Lo contrario es cierto si no hay ningún punto en el queF{\displaystyle f}es localmente constante ; es decir, si no existe ningún subconjunto abierto no vacío deincógnita{\displaystyle X}en el cualF{\displaystyle f}se restringe a un mapa constante.

Condiciones suficientes

SuponerF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una sobreyección abierta continua de un espacio numerable de primer ordenincógnita{\displaystyle X}en un espacio HausdorffY,{\displaystyle Y,}dejarD⊆Y{\displaystyle D\subseteq Y}Sea cualquier subconjunto no vacío, y seay∈clY⁡D{\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}dóndeclY⁡D{\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}denota el cierre deD{\displaystyle D}enY.{\displaystyle Y.} Entonces, dado cualquierincógnita,z∈F−1(y){\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}y cualquier secuenciaincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}enF−1(D){\displaystyle f^{-1}(D)}que converge aincógnita,{\displaystyle x,}existe una secuenciaz∙{\displaystyle z_{\bullet }}enF−1(D){\displaystyle f^{-1}(D)}que converge az{\displaystyle z}así como una subsecuencia(incógnitalk)k=1∞{\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}deincógnita∙{\displaystyle x_{\bullet }}de tal manera queF(zk)=F(incógnitalk){\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}a pesar dek∈norte.{\displaystyle k\in \mathbb {N} .} En resumen, esto establece que dada una secuencia convergenteincógnita∙⊆F−1(D){\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}de tal manera queincógnita∙→incógnita{\displaystyle x_{\bullet }\to x}entonces para cualquier otroz∈F−1(F(incógnita)){\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}perteneciente a la misma fibra queincógnita,{\displaystyle x,}Siempre es posible encontrar una subsecuencia.incógnital∙=(incógnitalk)k=1∞{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}de tal manera queF∘incógnital∙=(F(incógnitalk))k=1∞{\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}puede ser "levantado" porF{\displaystyle f}a una secuencia que converge az.{\displaystyle z.}

Lo siguiente demuestra que, bajo ciertas condiciones, el hecho de que la fibra de un mapa sea un conjunto numerable es suficiente para garantizar la existencia de un punto de apertura .F:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una cobertura de secuencia de un espacio secuencial de Hausdorffincógnita{\displaystyle X}en un espacio de Hausdorff de primer orden contableY{\displaystyle Y}y siy∈Y{\displaystyle y\in Y}es tal que la fibraF−1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}es un conjunto numerable, entonces existe algúnincógnita∈F−1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}de tal manera queincógnita{\displaystyle x}es un punto de apertura paraF:incógnita→Y.{\displaystyle f:X\to Y.} En consecuencia, siF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es un mapa cociente entre dos espacios de Hausdorff de primer orden numerables y si cada fibra deF{\displaystyle f}es contable, entoncesF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es un mapa casi abierto y, en consecuencia, también una cobertura de secuencia 1.

Véase también

  • Espacio de Fréchet-Urysohn : un tipo de espacio topológico. 
  • Mapa abierto : funciones que envían subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados). Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
  • Mapa perfecto : mapa continuo cerrado sobreyectivo, cuyas fibras son también conjuntos compactos. 
  • Mapa propio – Mapa matemático entre espacios topológicos 
  • Espacio secuencial – Espacio topológico caracterizado por secuencias 
  • Espacio secuencialmente compacto : espacio topológico donde cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. 

Notas

Citas

Referencias

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