Mapa casi abierto

En el análisis funcional y áreas afines de las matemáticas , una aplicación casi abierta entre espacios topológicos es aquella que satisface una condición similar, pero más débil, a la de ser una aplicación abierta . Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos , todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.

Dado un mapa sobreyectivo${\displaystyle f:X\to Y,}$un punto${\displaystyle x\in X}$se llama unpunto de apertura para${\displaystyle f}$y${\displaystyle f}$Se dice que está abierto a las${\displaystyle x}$(o un mapa abierto en${\displaystyle x}$) si para cada vecindario abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle x,}$${\displaystyle f(U)}$es un barrio de${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle Y}$(tenga en cuenta que el vecindario${\displaystyle f(U)}$no es necesario que sea un vecindario abierto ).

Una aplicación sobreyectiva se denomina aplicación abierta si es abierta en cada punto de su dominio, mientras que se denomina aplicación casi abierta si cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, una aplicación sobreyectiva${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que está casi abierto si por cada${\displaystyle y\in Y,}$existe algo${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$de tal manera que${\displaystyle f}$está abierto a las${\displaystyle x.}$ Toda sobreyección casi abierta es necesariamente unamapa pseudoabierto (introducido porAlexander Arhangelskiien 1963), que por definición significa que para cada${\displaystyle y\in Y}$y cada vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle f^{-1}(y)}$(eso es,${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}$),${\displaystyle f(U)}$es necesariamente un vecindario de${\displaystyle y.}$

Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto, pero en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyección${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$es un mapa casi abierto entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera de${\displaystyle Y}$topología de${\displaystyle \sigma }$):

cuando sea${\displaystyle m,n\in X}$pertenecen a la misma fibra de${\displaystyle f}$(eso es,${\displaystyle f(m)=f(n)}$) luego para cada vecindario${\displaystyle U\in \tau }$de${\displaystyle m,}$existe algún vecindario${\displaystyle V\in \tau }$de${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Si el mapa es continuo, entonces la condición anterior también es necesaria para que el mapa sea abierto. Es decir, si${\displaystyle f:X\to Y}$Si es una sobreyección continua, entonces es una aplicación abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.

• Conjunto casi abierto : diferencia entre un conjunto abierto y un conjunto reducido. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Espacio de barril – Tipo de espacio vectorial topológico 
• Teorema de la inversa acotada : condición para que un operador lineal sea abierto. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Teorema del grafo cerrado : Teorema que relaciona la continuidad con los grafos. 
• Conjunto abierto – Subconjunto básico de un espacio topológico 
• Mapas abiertos y cerrados : funciones que envían subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados). 
• Teorema de la aplicación abierta (análisis funcional) : condición para que un operador lineal sea abierto (también conocido como teorema de Banach-Schauder). 
• Mapa cuasi-abierto : generalización del mapa abierto en topología. 
• Sobreyección de espacios de Fréchet – Caracterización de la sobreyección 
• Espacio en red : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y de grafos cerrados. 

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