Propiedad de grafo cerrado

{\displaystyle (0,0)} — Función discontinua con una gráfica que no es cerrada: el punto $(0,0)$ es un punto límite que no es un punto en la gráfica.

En matemáticas , particularmente en análisis funcional y topología , la propiedad de grafo cerrado es propia de las funciones . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Una función real $y=f(x)$ Una función es cerrada si su gráfica es cerrada, lo que significa que contiene todos sus puntos límite . Toda función continua de este tipo tiene una gráfica cerrada, pero lo contrario no es necesariamente cierto.

De forma más general, una función $f : X \to Y$ entre espacios topológicos tiene una gráfica cerrada si su gráfica es un subconjunto cerrado del espacio producto $X \times Y.$

Esta propiedad se estudia porque existen muchos teoremas, conocidos como teoremas de grafos cerrados , que establecen condiciones bajo las cuales una función con un grafo cerrado es necesariamente continua . Una clase particularmente conocida de teoremas de grafos cerrados son los teoremas de grafos cerrados en análisis funcional .

Definiciones

Gráficos y funciones con valores de conjunto

Definición y notación : La gráfica de una función

f : X \to Y

es el conjunto

Gr f := { (x, f (x)) : x \in X} = { (x, y) \in X \times Y : y = f (x)}

.

Notación : Si

Y

es un conjunto, entonces el conjunto potencia de

Y

, que es el conjunto de todos los subconjuntos de

Y

, se denota por

2 Y

o

𝒫(Y)

.

Definición : Si

X

e

Y

son conjuntos, una función con valores en

Y

sobre

X

(también llamada multifunción con valores en

Y

sobre

X

) es una función

F

:

X

\to 2

Y

con dominio

X

que tiene valores en

2

Y.

Es decir,

F

es una función sobre

X

tal que para todo x

\in

X

,

F

(

x

)

es

un subconjunto de

Y.

Algunos autores llaman a una función $F : X \to 2 Y$ una función multivaluada solo si satisface el requisito adicional de que $F (x)$ no sea vacía para todo $x \in X$ ; este artículo no requiere esto.

Definición y notación : Si

F : X \to 2 Y

es una función multivaluada en un conjunto

Y,

entonces la gráfica de

F

es el conjunto

Gr F := { (x, y) \in X \times Y : y \in F (x)}

.

Definición : Una función

f : X \to Y

puede identificarse canónicamente con la función multivaluada

F : X \to 2 Y

definida por

F (x) := {f (x)}

para todo

x \in X

, donde

F

se denomina la función multivaluada canónica inducida por (o asociada con)

f

.

Nótese que en este caso, $Gr f = Gr F$ .

Gráfico cerrado

Presentamos la definición más general de cuándo una función con valores en $Y$ o una función multivaluada definida en un subconjunto $S$ de $X$ tiene una gráfica cerrada, ya que esta generalidad es necesaria en el estudio de operadores lineales cerrados definidos en un subespacio denso $S$ de un espacio vectorial topológico $X$ (y no necesariamente definidos en todo $X$ ). Este caso particular es una de las principales razones por las que se estudian las funciones con gráficas cerradas en el análisis funcional.

Suposiciones : En todo momento,

X

e

Y

son espacios topológicos,

S \subseteq X

, y

f

es una función con valores en

Y

o una función con valores en

S

(es decir ,

f : S \to Y

o

f : S \to 2 Y

).

X \times Y

siempre estará dotado de la topología producto .

Definición : ^{[ 3 ]} Decimos que

f

tiene una gráfica cerrada en $X \times Y$ si la gráfica de

f

,

Gr f

, es un subconjunto cerrado de

X \times Y

cuando

X \times Y

está dotado de la topología producto. Si

S = X

o si

X

es claro por el contexto, podemos omitir escribir "en

X \times Y

".

Observación : Si

g : S \to Y

es una función y

G

es la función canónica multivaluada inducida por

g

(es decir,

G : S \to 2 Y

se define por

G (s) := {g (s)}

para cada

s \in S

), entonces, dado que

Gr g = Gr G

,

g

tiene una gráfica cerrada (respectivamente, secuencialmente cerrada) en

X \times Y

si y solo si lo mismo es cierto para

G

.

Mapas y cierres que se pueden cerrar

Definición : Decimos que la función (resp. función multivaluada)

f

es cerrable en $X \times Y$ si existe un subconjunto

D \subseteq X

que contiene

S

y una función (resp. función multivaluada)

F : D \to Y

cuya gráfica es igual a la clausura del conjunto

Gr f

en

X \times Y.

Dicha

F

se llama clausura de $f$ en $X \times Y$ , se denota por

f

, y necesariamente extiende

f

.

Supuestos adicionales para aplicaciones lineales : Si además, $S$ , $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topológicos y $f : S \to Y$ es una aplicación lineal, entonces para decir que $f$ es cerrable también requerimos que el conjunto $D$ sea un subespacio vectorial de $X$ y que la clausura de $f$ sea una aplicación lineal.

Definición : Si

f

es cerrable en

S

, entonces un dominio central o esencial de

f

es un subconjunto

D

\subseteq

S

tal que el cierre en

X

\times

Y

del gráfico de la restricción

f

|

D

:

D

\to

Y

de

f

a

D

es igual al cierre del gráfico de

f

en

X

\times

Y

(es decir, el cierre de

Gr

f

en

X

\times

Y

es igual al cierre de

Gr

f

|

D

en

X

\times

Y

).

Mapas cerrados y operadores lineales cerrados

Definición y notación : Cuando escribimos

f : D (f) \subseteq X \to Y

, queremos decir que

f

es una función con valores en

Y y dominio

D (f)

donde

D (f) \subseteq X

. Si decimos que

f : D (f) \subseteq X \to Y

es cerrada (respectivamente, secuencialmente cerrada ) o tiene una gráfica cerrada (respectivamente, tiene una gráfica secuencialmente cerrada ), queremos decir que la gráfica de

f

es cerrada (respectivamente, secuencialmente cerrada) en

X \times Y

(en lugar de en

D (f) \times Y

).

Al leer literatura sobre análisis funcional , si $f : X \to Y$ es una aplicación lineal entre espacios vectoriales topológicos (EVT) (por ejemplo, espacios de Banach ), entonces " $f$ es cerrado" casi siempre significará lo siguiente:

Definición : Una aplicación

f : X \to Y

se denomina cerrada si su gráfica es cerrada en

X \times Y.

En particular, el término " operador lineal cerrado " casi con certeza se referirá a una aplicación lineal cuya gráfica es cerrada.

De otro modo, especialmente en la literatura sobre topología de conjuntos de puntos , " $f$ es cerrado" puede significar en cambio lo siguiente:

Definición : Una aplicación

f : X \to Y

entre espacios topológicos se denomina aplicación cerrada si la imagen de un subconjunto cerrado de

X

es un subconjunto cerrado de

Y.

Estas dos definiciones de "mapa cerrado" no son equivalentes. Si no queda claro, se recomienda que el lector consulte la definición de "mapa cerrado" en la bibliografía que esté consultando.

Caracterizaciones

En todo el texto, consideremos $X$ e $Y$ como espacios topológicos.

Función con una gráfica cerrada

Si $f : X \to Y$ es una función, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$f$ tiene una gráfica cerrada (en $X \times Y$ );
(definición) la gráfica de $f$ , $Gr f$ , es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;
para cada x ∈ X y red x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} en X tal que x _• → x en X , si y ∈ Y es tal que la red f ( x _• ) := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → y en Y entonces y = f ( x ) ; ^{[ 3 ]}
- Compárese esto con la definición de continuidad en términos de redes, que recordemos es la siguiente: para cada $x \in X$ y red $x • = (x i) i \in I$ en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , $f (x •) \to f (x)$ en $Y$ .
- Así, para demostrar que la función $f$ tiene una gráfica cerrada, podemos suponer que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ (y luego demostrar que $y = f (x)$ ), mientras que para demostrar que $f es continua,$ no podemos suponer que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ y, en cambio, debemos demostrar que esto es cierto (y, además, debemos demostrar más específicamente que $f (x •)$ converge a $f (x)$ en $Y$ ).

y si $Y$ es un espacio de Hausdorff que es compacto , entonces podemos agregar a esta lista:

f

es continua; ^{[ 4 ]}

y si tanto $X$ como $Y$ son espacios numerables de primer orden , entonces podemos agregar a esta lista:

f

tiene un gráfico secuencialmente cerrado (en

X \times Y

);

Función con un grafo secuencialmente cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$f$ tiene un gráfico secuencialmente cerrado (en $X \times Y$ );
(definición) la gráfica de $f$ es un subconjunto secuencialmente cerrado de $X \times Y$ ;
para cada $x \in X$ y sucesión $x • = (x i) \infty i =1$ en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , si $y \in Y$ es tal que la red $f (x •) := (f (x i)) \infty i =1 \to y$ en $Y$ entonces $y = f (x)$ ; ^{[ 3 ]}

función multivaluada con un gráfico cerrado

Si $F : X \to 2 Y$ es una función multivaluada entre espacios topológicos $X$ e $Y$ , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$F$ tiene una gráfica cerrada (en $X \times Y$ );
(definición) la gráfica de $F$ es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;

y si $Y$ es compacto y de Hausdorff, entonces podemos añadir a esta lista:

F

es hemicontinua superiormente y

F (x)

es un subconjunto cerrado de

Y

para todo

x \in X

; ^{[ 5 ]}

y si tanto $X$ como $Y$ son espacios metrizables, entonces podemos agregar a esta lista:

para todo

x \in X

,

y \in Y

, y secuencias

x • = (x i) \infty i =1

en

X

e

y • = (y i) \infty i =1

en

Y

tales que

x • \to x

en

X

e

y • \to y

en

Y

, y

y i \in F (x i)

para todo

i

, entonces

y \in F (x)

.

Caracterizaciones de grafos cerrados (topología general)

A lo largo de todo, deje que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y $X\times Y$ está dotado de la topología del producto.

Función con una gráfica cerrada

Si $f:X\to Y$ Si una función es una función, se dice que tiene una gráfica cerrada si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(Definición): El gráfico $\operatorname {graph} f$ de $f$ es un subconjunto cerrado de $X\times Y.$
Por cada $x\in X$ $x\in X$ y neto $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ en $X$ $X$ de tal manera que $x_{\bullet }\to x$ $x_{\bullet }\to x$ en $X,$ $X,$ si $y\in Y$ $y\in Y$ es tal que la red $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ en $Y$ $Y$ entonces $y=f(x).$ $y=f(x).$ ^{[ 3 ]}
- Compárese esto con la definición de continuidad en términos de redes, que recordemos es la siguiente: para cada $x\in X$ y neto $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ en $X$ de tal manera que $x_{\bullet }\to x$ en $X,$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ en $Y.$
- Por lo tanto, para demostrar que la función $f$ tiene un gráfico cerrado, se puede suponer que $f\left(x_{\bullet }\right)$ converge en $Y$ para algunos $y\in Y$ (y luego demostrar que $y=f(x)$ ) mientras que para demostrar que $f$ es continuo, no se puede asumir que $f\left(x_{\bullet }\right)$ converge en $Y$ para algunos $y\in Y$ y en cambio, debe probarse que esto es cierto (y además, debe probarse más específicamente que $f\left(x_{\bullet }\right)$ converge a $f(x)$ en $Y$ ).

y si $Y$ Si se trata de un espacio compacto Hausdorff, podemos añadir a esta lista:

$f$ es continuo. ^{[ 4 ]}

y si ambos $X$ y $Y$ Si los espacios son numerables de primer orden, podemos agregarlos a esta lista:

$f$ tiene un grafo secuencialmente cerrado en $X\times Y.$

Función con un grafo secuencialmente cerrado

Si $f:X\to Y$ Si es una función, entonces las siguientes son equivalentes:

$f$ tiene un grafo secuencialmente cerrado en $X\times Y.$
Definición: la gráfica de $f$ es un subconjunto secuencialmente cerrado de $X\times Y.$
Por cada $x\in X$ y secuencia $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en $X$ de tal manera que $x_{\bullet }\to x$ en $X,$ si $y\in Y$ es tal que la red $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y$ en $Y$ entonces $y=f(x).$ ^{[ 3 ]}

Condiciones suficientes para un grafo cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función continua entre espacios topológicos y si $Y$ es Hausdorff , entonces $f$ tiene una gráfica cerrada en $X \times Y.$ ^{[ 3 ]} Sin embargo, si $f$ es una función entre espacios topológicos Hausdorff, entonces es posible que $f$ tenga una gráfica cerrada en $X \times Y$ pero no sea continua.

Teoremas de grafos cerrados

Las condiciones que garantizan que una función con una gráfica cerrada sea necesariamente continua se denominan teoremas de gráfica cerrada . Estos teoremas revisten especial interés en el análisis funcional, donde existen numerosos teoremas que establecen condiciones bajo las cuales una aplicación lineal con una gráfica cerrada es necesariamente continua.

Si $f : X \to Y$ es una función entre espacios topológicos cuyo grafo es cerrado en $X \times Y$ y si $Y$ es un espacio compacto , entonces $f : X \to Y$ es continua. ^{[ 3 ]}

Ejemplos

Mapas continuos pero no cerrados

Sea $X$ el conjunto de números reales $ℝ$ con la topología euclidiana usual y sea $Y$ el conjunto $ℝ$ con la topología indiscreta (donde $Y$ no es Hausdorff y toda función con valores en $Y$ es continua). Sea $f : X \to Y$ definida por $f (0) = 1$ y $f (x) = 0$ para todo $x \neq 0.$ Entonces $f : X \to Y es continua$ ^, pero su gráfica no es cerrada en $X \times Y.$ ^[³ ]
Si $X$ es cualquier espacio, entonces la aplicación identidad $Id : X \to X$ es continua, pero su gráfica, que es la diagonal $Gr Id := { (x, x) : x \in X}$ , es cerrada en $X \times X$ si y solo si $X$ es Hausdorff. ^{[ 6 ]} En particular, si $X$ no es Hausdorff, entonces $Id : X \to X$ es continua pero no cerrada.
Si $f : X \to Y$ es una aplicación continua cuya gráfica no es cerrada, entonces $Y$ no es un espacio de Hausdorff.

Mapas cerrados pero no continuos

Sean $X$ e $Y$ números reales $ℝ$ con la topología euclidiana $usual$ . Sea $f : X \to Y definida por f (0) = 0 y f ( x ) = 1 /$ $x para todo x \neq$ 0. $Entonces f$ : $X \to Y tiene una gráfica cerrada$ ( $y una$ gráfica $secuencialmente cerrada) en X$ × $Y = ℝ² pero no$ es continua (ya que tiene una discontinuidad en $x = 0$ ). ^{[ 3 ]}
Sea $X$ el conjunto de números reales $ℝ$ con la topología euclidiana usual , sea $Y$ el conjunto de $ℝ$ con la topología discreta , y sea $Id : X \to Y$ la aplicación identidad (es decir, $Id(x) := x$ para todo $x \in X$ ). Entonces $Id : X \to Y$ es una aplicación lineal cuya gráfica es cerrada en $X \times Y$ , pero claramente no es continua (ya que los conjuntos unitarios son abiertos en $Y$ pero no en $X$ ). ^{[ 3 ]}
Sea $(X, 𝜏)$ un sistema de vectores de topología de Hausdorff y sea $𝜐$ una topología vectorial en $X$ estrictamente más fina que $𝜏$ . Entonces, la aplicación identidad $Id : (X, 𝜏) \to (X, 𝜐)$ es un operador lineal discontinuo cerrado. ^{[ 7 ]}

Véase también

Mapa lineal casi abierto : mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección.
Teorema del grafo cerrado : Teorema que relaciona la continuidad con los grafos.
Teorema del grafo cerrado (análisis funcional) : Teoremas que relacionan la continuidad con el cierre de grafos.
Teorema del punto fijo de Kakutani – Teorema del punto fijo para funciones multivaluadas
Teorema de la aplicación abierta (análisis funcional) : condición para que un operador lineal sea abierto.
Espacio en red : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y de grafos cerrados.
Graficar función continua

Referencias

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↑ Ursescu, Corneliu (1975). "Multifunciones con grafo cerrado convexo" . Czechoslovak Mathematical Journal . 25 (3): 438– 441. doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 459–483.
1 2 Munkres 2000 , pág. 171.
↑ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer.
↑ Rudin p.50
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[1] Baggs, Ivan (1974). "Funciones con un grafo cerrado" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 43 (2): 439– 442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .

[2] Ursescu, Corneliu (1975). "Multifunciones con grafo cerrado convexo" . Czechoslovak Mathematical Journal . 25 (3): 438– 441. doi : 10.21136/CMJ.1975.101337 . ISSN 0011-4642 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459–483-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 459–483.

[FOOTNOTEMunkres2000171-4] 1 2 Munkres 2000 , pág. 171.

[aliprantis-5] Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer.

[6] Rudin p.50

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011480-7] Narici y Beckenstein 2011 , pág. 480.

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