Operador lineal cerrado

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador lineal cerrado , o simplemente operador cerrado, es un operador lineal parcialmente definido cuya gráfica es cerrada (véase la propiedad de gráfica cerrada ). Es un ejemplo básico de operador no acotado .

El teorema del grafo cerrado establece que un operador lineal entre espacios de Banach es un operador cerrado si y solo si es un operador acotado y su dominio es . En la práctica, muchos operadores no son acotados, pero aun así es deseable que tengan un grafo cerrado. Por lo tanto, no pueden definirse en todo . Para que sigan siendo útiles, se definen en un subespacio propio pero denso , lo que permite aproximar cualquier vector y mantiene disponibles herramientas clave (cierres, adjuntos, teoría espectral ).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

En el análisis funcional es común considerar funciones parciales , que son funciones definidas en un subconjunto de algún espacio. Una función parcial se declara con la notación que indica que tiene prototipo (es decir, su dominio es y su codominio es ).${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$

Cada función parcial es, en particular, una función y, por lo tanto, toda la terminología para funciones se puede aplicar a ellas. Por ejemplo, la gráfica de una función parcial es el conjunto Sin embargo, una excepción a esto es la definición de "gráfica cerrada". Se dice que una función parcial tiene una gráfica cerrada si es un subconjunto cerrado de en la topología producto ; es importante notar que el espacio producto es y no como se definió anteriormente para funciones ordinarias. Por el contrario, cuando se considera como una función ordinaria (en lugar de como la función parcial ), entonces "tener una gráfica cerrada" significaría en cambio que es un subconjunto cerrado de Si es un subconjunto cerrado de entonces también es un subconjunto cerrado de aunque lo contrario no está garantizado en general.${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle D\times Y.}$${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$

Definición : Si X e Y son espacios vectoriales topológicos (TVS) , entonces llamamos operador lineal cerrado a una aplicación lineal f :  D ( f ) ⊆ X → Y si su gráfica es cerrada en X × Y.

El antónimo de "cerrado" es "no cerrado", es decir, un operador lineal no cerrado es un operador lineal cuya gráfica es estrictamente menor que su clausura.

Un operador cerrado entre espacios de Banach está acotado, según el teorema del grafo cerrado . Ejemplos más interesantes de operadores cerrados son los no acotados.

Si es un TVS de Hausdorff y es una topología vectorial en que es estrictamente más fina que entonces la aplicación identidad es un operador lineal discontinuo cerrado. ^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \operatorname {Id}$ :(X,\tau )\to (X,\nu )}

Consideremos el operador de derivada donde es el espacio de Banach (con norma suprema ) de todas las funciones continuas en un intervalo Si tomamos su dominio como entonces es un operador cerrado, que no está acotado. ^{[ 2 ]} Por otro lado, si es el espacio de funciones escalares suaves entonces ya no será cerrado, pero será cerrable, siendo el cierre su extensión definida en Para demostrar que no es cerrado cuando se restringe a , tomemos una función que sea pero no suave, como . Luego, suavicémosla a una secuencia de funciones suaves tales que , entonces , pero no está en la gráfica de .${\displaystyle f={\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle X=Y=C([a,b])}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b])}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle u(x)=x^{3/2}}$${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \|u_{n}-u\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle \|f(u_{n})-u'\|_{\infty }\to 0}$${\displaystyle (u,u')}$${\displaystyle f|_{C^{\infty }([a,b])}}$

Las siguientes propiedades se pueden comprobar fácilmente para un operador lineal entre espacios de Banach:${\displaystyle f:\operatorname {D} (f)\subseteq X\to Y}$

• Si está definido en todo el dominio , entonces es cerrado si y solo si es acotado.${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• Si está cerrado, entonces está cerrado, donde es un escalar y es la función identidad ;${\displaystyle A}$${\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$
• Si es cerrado, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de ;${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$
• Si es cerrada e inyectiva, entonces su inversa también es cerrada;${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$
• Un operador lineal admite una clausura si y solo si para cada par de secuencias y en ambas convergentes a en , de modo que tanto como convergen en , se tiene .${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle y_{\bullet }=(y_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {D} (f)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x_{\bullet })=(f(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f(y_{\bullet })=(f(y_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{i})=\lim _{i\to \infty }f(y_{i})}$

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