Teorema del grafo cerrado (análisis funcional)

En matemáticas, particularmente en análisis funcional , el teorema del grafo cerrado es un resultado que relaciona la continuidad de un operador lineal con una propiedad topológica de su grafo . Precisamente, el teorema establece que un operador lineal entre dos espacios de Banach es continuo si y solo si el grafo del operador es cerrado (tal operador se denomina operador lineal cerrado ; véase también propiedad del grafo cerrado ).

Una de las cuestiones importantes en el análisis funcional es la de la continuidad (o acotación) de un operador lineal determinado. El teorema del grafo cerrado ofrece una respuesta a esa pregunta.

Sea un operador lineal entre espacios de Banach (o más generalmente espacios de Fréchet). Entonces la continuidad de significa que para cada secuencia convergente . Por otro lado, la cerrazón del grafo de significa que para cada secuencia convergente tal que , tenemos . Por lo tanto, el teorema del grafo cerrado dice que para comprobar la continuidad de , se puede demostrar bajo el supuesto adicional de que es convergente. ${\displaystyle T:X\a Y}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{i}\to x}$${\displaystyle Tx_{i}\to y}$${\displaystyle y=Tx}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Tx_{i}\to Tx}$${\displaystyle Tx_{i}}$

En efecto, para que el grafo de T sea cerrado, basta con que si , entonces . En efecto, suponiendo que se cumple esa condición, si , entonces y . Por tanto, ; es decir, está en el grafo de T . ${\displaystyle x_{i}\to 0,\,Tx_{i}\to y}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle (x_{i},Tx_{i})\to (x,y)}$${\displaystyle x_{i}-x\to 0}$${\displaystyle T(x_{i}-x)\to y-Tx}$${\displaystyle y=Tx}$${\displaystyle (x,y)}$

Nótese que, para comprobar la cerrazón de un grafo, ni siquiera es necesario utilizar la topología normal: si el grafo de T está cerrado en alguna topología más burda que la topología normal, entonces está cerrado en la topología normal. ^[1] En la práctica, esto funciona así: T es algún operador en algún espacio de funciones. Se muestra que T es continuo con respecto a la topología de distribución ; por lo tanto, el grafo está cerrado en esa topología, lo que implica cerrazón en la topología normal y luego T está acotado por el teorema de grafo cerrado (cuando se aplica el teorema). Véase § Ejemplo para un ejemplo explícito.

La prueba habitual del teorema del grafo cerrado emplea el teorema de aplicación abierta . Simplemente utiliza una receta general para obtener el teorema del grafo cerrado a partir del teorema de aplicación abierta; véase teorema del grafo cerrado § Relación con el teorema de aplicación abierta (esta deducción es formal y no utiliza linealidad; la linealidad es necesaria para apelar al teorema de aplicación abierta que se basa en la linealidad).

De hecho, el teorema de aplicación abierta puede a su vez deducirse del teorema del grafo cerrado de la siguiente manera. Como se señala en Teorema de aplicación abierta (análisis funcional) § Enunciado y demostración , es suficiente demostrar el teorema de aplicación abierta para un operador lineal continuo que sea biyectivo (no solo sobreyectivo). Sea T un operador de este tipo. Entonces, por continuidad, el grafo de T es cerrado. Entonces, bajo . Por lo tanto, por el teorema del grafo cerrado, es continua; es decir, T es una aplicación abierta. ${\displaystyle \Gamma _{T}}$${\displaystyle \Gamma _{T}\simeq \Gamma _{T^{-1}}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$${\displaystyle T^{-1}}$

Dado que el teorema del grafo cerrado es equivalente al teorema de aplicación abierta, se sabe que el teorema falla sin el supuesto de completitud. Pero, más concretamente, existe un operador con grafo cerrado que no está acotado (ver operador no acotado ) y, por lo tanto, sirve como contraejemplo.

La desigualdad de Hausdorff-Young dice que la transformación de Fourier es un operador acotado bien definido con una norma de operador uno cuando . Este resultado se suele demostrar utilizando el teorema de interpolación de Riesz-Thorin y es altamente no trivial. El teorema del grafo cerrado se puede utilizar para demostrar una versión suave de este resultado; es decir, la transformación de Fourier es un operador acotado con la norma de operador desconocida. ^[3]${\displaystyle {\widehat {\cdot }}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p'}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$

Así es como se desarrollaría el argumento. Sea T la transformación de Fourier. Primero, mostramos que es un operador lineal continuo para Z = el espacio de distribuciones templadas en . Segundo, notamos que T mapea el espacio de funciones de Schwarz a sí mismo (en resumen, porque la suavidad y el decaimiento rápido se transforman en decaimiento rápido y suavidad, respectivamente). Esto implica que el gráfico de T está contenido en y está definido pero con límites desconocidos. ^{[ aclaración necesaria ]} Dado que es continuo, el gráfico de es cerrado en la topología de distribución; por lo tanto en la topología de norma. Finalmente, por el teorema del grafo cerrado, es un operador acotado. ${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}\times L^{p'}}$${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$${\displaystyle T:L^{p}\to Z}$${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$${\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}$

El teorema del grafo cerrado se puede generalizar desde los espacios de Banach a espacios vectoriales topológicos más abstractos de las siguientes maneras.

Hay versiones que no requieren ser localmente convexas. ${\displaystyle Y}$

Este teorema se reformula y se amplía con algunas condiciones que pueden usarse para determinar si un gráfico está cerrado:

Todo espacio topológico metrizable es pseudometrizable . Un espacio pseudometrizable es metrizable si y sólo si es de Hausdorff .

Una versión aún más general del teorema del grafo cerrado es

El teorema del grafo de Borel, demostrado por L. Schwartz, muestra que el teorema del grafo cerrado es válido para aplicaciones lineales definidas y valoradas en la mayoría de los espacios encontrados en el análisis. ^[10] Recordemos que un espacio topológico se denomina espacio polaco si es un espacio metrizable completo separable y que un espacio de Souslin es la imagen continua de un espacio polaco. El dual débil de un espacio de Fréchet separable y el dual fuerte de un espacio de Fréchet-Montel separable son espacios de Souslin. Además, el espacio de distribuciones y todos los espacios Lp sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, así como muchos otros espacios que se dan en el análisis, son espacios de Souslin. El teorema del grafo de Borel establece:

Una mejora de este teorema, demostrada por A. Martineau, utiliza espacios K-analíticos.

Un espacio topológico se denomina si es la intersección contable de uniones contables de conjuntos compactos. ${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$

Un espacio topológico de Hausdorff se denomina K-analítico si es la imagen continua de un espacio (es decir, si existe un espacio y una función continua de sobre ). ${\displaystyle Y}$${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$${\displaystyle K_{\sigma \delta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Todo conjunto compacto es K-analítico, de modo que existen espacios K-analíticos no separables. Además, todo espacio polaco, de Souslin y de Fréchet reflexivo es K-analítico, al igual que el dual débil de un espacio de Frechet. El teorema generalizado del grafo de Borel establece:

Si es un operador lineal cerrado de un TVS localmente convexo de Hausdorff en un TVS de dimensión finita de Hausdorff, entonces es continuo. ^[12]${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Grafo cerrado  – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del productoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal cerrado
• Operador densamente definido  : función que está definida casi en todas partes (matemáticas)
• Mapa lineal discontinuo
• Teorema del punto fijo de Kakutani  : Teorema del punto fijo para funciones con valores conjuntos
• Teorema de aplicación abierta (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal sea abierto
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Notas

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-08662-8.OCLC 297140003  .
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Dubinsky, Ed (1979). La estructura de los espacios nucleares de Fréchet . Apuntes de clase de matemáticas . Vol. 720. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09504-0.OCLC 5126156  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El marco conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4.OCLC 37141279  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4.OCLC 24909067  .
• Tao, Terence , 245B, Notas 9: El teorema de la categoría de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Vogt, Dietmar (2000), Conferencias sobre los espacios de Fréchet (PDF)
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .
• "Demostración del teorema del grafo cerrado". PlanetMath .