Espacio F

En el análisis funcional , un F-espacio es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos junto con una métrica tal que ${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. La multiplicación escalar en es continua con respecto a y la métrica estándar en o${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. La adición en es continua con respecto a${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización d.}$
3. La métrica es invariante a la traducción ; es decir, para todos${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$${\displaystyle x,y,a\en X.}$
4. El espacio métrico está completo .${\estilo de visualización (X,d)}$

La operación se denomina F-norma , aunque en general no se requiere que una F-norma sea homogénea. Por invariancia de la traducción , la métrica es recuperable a partir de la F-norma. Por lo tanto, un F-espacio real o complejo es equivalentemente un espacio vectorial real o complejo equipado con una F-norma completa. ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F , pero normalmente el término "espacio de Fréchet" se reserva para espacios F localmente convexos . Otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo . La métrica puede o no ser necesariamente parte de la estructura de un espacio F; muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable de una manera que satisfaga las propiedades anteriores.

Todos los espacios de Banach y espacios de Fréchet son F-espacios. En particular, un espacio de Banach es un F-espacio con un requisito adicional de que ^[1]${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

Los espacios L ^p pueden convertirse en espacios F para todos y para ellos pueden convertirse en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach. ${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$es un F-espacio. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos: tiene un espacio dual trivial .

Sea el espacio de todas las series de Taylor de valores complejos en el disco unitario tales que entonces para son F-espacios bajo la p-norma : ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {D}}$$${\displaystyle \sum _{n}\izquierda|a_{n}\derecha|^{p}<\infty }$$${\estilo de visualización 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

De hecho, es un álgebra cuasi-Banach . Además, para cualquier función con el mapa es una función lineal acotada (multiplicativa) en${\estilo de visualización W_{p}}$${\estilo de visualización \zeta}$${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$${\displaystyle f\mapsto f(\zeta)}$${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

El teorema de aplicación abierta implica que si hay topologías en que hacen que tanto y como sean espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ). ^[4]${\displaystyle \tau {\text{ y }}\tau _{2}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ o }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ entonces }}\tau =\tau _{2}}$

• Una función lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es continua. ^[5]
• Una función lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es necesariamente una función abierta . ^[5]
• Una función lineal continua casi abierta de un F-espacio es necesariamente una función abierta . ^[6]
• Una función lineal continua casi abierta de un F-espacio cuya imagen es de segunda categoría en el codominio es necesariamente una función sobreyectiva abierta . ^[5]

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• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
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