Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Gráfica de una función

Gráfica de la función F ( incógnita ) = incógnita 3 + 3 incógnita 2 − 6 incógnita − 8 4 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}} . En matemáticas , la gráfica de una ...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Gráfica de la funciónF(incógnita)=incógnita3+3incógnita2−6incógnita−84{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}}.

En matemáticas , la gráfica de una funciónF{\displaystyle f}es el conjunto de pares ordenados(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}, dóndeF(incógnita)=y.{\displaystyle f(x)=y.}En el caso común dondeincógnita{\displaystyle x}yF(incógnita){\displaystyle f(x)}son números reales , estos pares son coordenadas cartesianas de puntos en un plano y a menudo forman una curva . La representación gráfica de la gráfica de una función también se conoce como diagrama .

En el caso de funciones de dos variables , es decir, funciones cuyo dominio consta de pares(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}–, el gráfico generalmente se refiere al conjunto de ternas ordenadas(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}dóndeF(incógnita,y)=z{\displaystyle f(x,y)=z}. Este es un subconjunto del espacio tridimensional ; para una función continua de valor real de dos variables reales, su gráfica forma una superficie , que puede visualizarse como un gráfico de superficie .

En ciencia , ingeniería , tecnología , finanzas y otras áreas, los gráficos son herramientas que se utilizan para diversos fines. En el caso más simple, se representa una variable en función de otra, generalmente mediante ejes rectangulares ; consulte la sección "Gráficos" para obtener más detalles.

La gráfica de una función es un caso especial de una relación . En los fundamentos modernos de las matemáticas , y típicamente en la teoría de conjuntos , una función es en realidad igual a su gráfica. [ 1 ] Sin embargo, a menudo es útil ver las funciones como aplicaciones , [ 2 ] que consisten no solo en la relación entre entrada y salida, sino también en qué conjunto es el dominio y qué conjunto es el codominio . Por ejemplo, decir que una función es sobreyectiva o no el codominio debe tenerse en cuenta. La gráfica de una función por sí sola no determina el codominio. Es común [ 3 ] usar ambos términos función y gráfica de una función ya que, aunque se consideren el mismo objeto, indican verlo desde una perspectiva diferente.

Definición

Dada una funciónF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de un conjunto X (el dominio ) a un conjunto Y (el codominio ), la gráfica de la función es el conjunto [ 4 ].GRAMO(F)={(incógnita,F(incógnita)):incógnita∈incógnita},{\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},} que es un subconjunto del producto cartesianoincógnita×Y{\displaystyle X\times Y}En la definición de una función en términos de teoría de conjuntos , es común identificar una función con su gráfica, aunque, formalmente, una función está formada por la terna que consiste en su dominio, su codominio y su gráfica.

Ejemplos

Funciones de una variable

Gráfica de la funciónF(incógnita)=incógnita4−4incógnita{\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}en el intervalo [−2,+3]. También se muestran las dos raíces reales y el mínimo local que se encuentran en dicho intervalo.

La gráfica de la funciónF:{1,2,3}→{a,b,do,d}{\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}definido por F(incógnita)={a,si incógnita=1,d,si incógnita=2,do,si incógnita=3,{\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{si }}x=1,\\d,&{\text{si }}x=2,\\c,&{\text{si }}x=3,\end{cases}}} es el subconjunto del conjunto{1,2,3}×{a,b,do,d}{\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}GRAMO(F)={(1,a),(2,d),(3,do)}.{\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}

A partir del gráfico, el dominio{1,2,3}{\displaystyle \{1,2,3\}}se recupera como el conjunto del primer componente de cada par en el gráfico{1,2,3}={incógnita: ∃y, de tal manera que (incógnita,y)∈GRAMO(F)}{\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ tal que }}(x,y)\in G(f)\}}. De manera similar, el rango se puede recuperar como{a,do,d}={y:∃incógnita, de tal manera que (incógnita,y)∈GRAMO(F)}{\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ tal que }}(x,y)\in G(f)\}}El codominio{a,b,do,d}{\displaystyle \{a,b,c,d\}}Sin embargo, no se puede determinar únicamente a partir del gráfico.

La gráfica del polinomio cúbico en la recta realF(incógnita)=incógnita3−9incógnita{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x} es {(incógnita,incógnita3−9incógnita):incógnita es un número real}.{\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{es un número real}}\}.}

Si este conjunto se representa en un plano cartesiano , el resultado es una curva (véase la figura).

Funciones de dos variables

Trazado de la gráfica deF(incógnita,y)=−(porque⁡(incógnita2)+porque⁡(y2))2{\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2}}, mostrando también su gradiente proyectado en el plano inferior

La gráfica de la función trigonométricaF(incógnita,y)=pecado⁡(incógnita2)porque⁡(y2){\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})} es {(incógnita,y,pecado⁡(incógnita2)porque⁡(y2)):incógnita y y son números reales}.{\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}

Si este conjunto se representa en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional , el resultado es una superficie (véase la figura).

A menudo resulta útil mostrar en la gráfica la pendiente de la función y varias curvas de nivel. Las curvas de nivel pueden representarse sobre la superficie de la función o proyectarse sobre el plano inferior. La segunda figura muestra un dibujo de la gráfica de la función de este tipo: F(incógnita,y)=−(porque⁡(incógnita2)+porque⁡(y2))2.{\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Pinter, Charles C. (2014) [1971]. Un libro de teoría de conjuntos . Dover Publications. pág.  49. ISBN 978-0-486-79549-2.
  2. ↑ Apostol, TM (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pág. 35. 
  3. ^ Halmos, PR (1982). Un libro de problemas espaciales de Hilbert . Springer-Verlag. pag. 31 . ISBN  0-387-90685-1.
  4. ↑ Bridges, DS (1991). Fundamentos del análisis real y abstracto . Springer. pág . 285. ISBN  0-387-98239-6.

Lecturas adicionales

  • Weisstein, Eric W. " Gráfica de funciones ". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.
Lecturas relacionadas
6 articulos
MatemáticasMatemáticasLas matemáticas son un campo de estudio que descubre y organiza métodos, teorías y teoremas que se desarrollan y prueban para las necesidades de la...Par ordenadoPar ordenadoEn matemáticas , un par ordenado , denotado ( a , b ), es un par de objetos en el que su orden es significativo. El par ordenado ( a , b ) es difer...Número realNúmero realEn matemáticas , un número real es un número que se puede utilizar para medir una cantidad unidimensional continua , como una distancia , una durac...Sistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianasIlustración de un plano de coordenadas cartesianas. Se marcan y etiquetan cuatro puntos con sus coordenadas: (2, 3) en verde, (−3, 1) en rojo, (−1,...Plano euclidianoPlano euclidianoEn matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado como . Es un espacio geométrico en el que se requieren do...{\displaystyle f(x,y)=0}Curva planaEn matemáticas , una curva plana es una curva en un plano que puede ser euclidiano , afín o proyectivo . Los casos más estudiados son las curvas pl...