Operador ilimitado

En matemáticas , más específicamente en el análisis funcional y la teoría de operadores , la noción de operador ilimitado proporciona un marco abstracto para tratar con operadores diferenciales , observables ilimitados en mecánica cuántica y otros casos.

El término "operador ilimitado" puede ser engañoso, ya que

• "ilimitado" a veces debería entenderse como "no necesariamente limitado";
• "operador" debe entenderse como " operador lineal " (como en el caso de "operador acotado");
• el dominio del operador es un subespacio lineal , no necesariamente todo el espacio;
• Este subespacio lineal no es necesariamente cerrado ; a menudo (pero no siempre) se supone que es denso ;
• En el caso especial de un operador acotado, aún así, generalmente se supone que el dominio es todo el espacio.

A diferencia de los operadores acotados , los operadores no acotados en un espacio dado no forman un álgebra , ni siquiera un espacio lineal, porque cada uno está definido en su propio dominio.

El término "operador" a menudo significa "operador lineal acotado", pero en el contexto de este artículo significa "operador ilimitado", con las reservas hechas anteriormente.

La teoría de operadores ilimitados se desarrolló a finales de la década de 1920 y principios de la de 1930 como parte del desarrollo de un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica . ^[1] El desarrollo de la teoría se debe a John von Neumann ^[2] y Marshall Stone . ^[3] Von Neumann introdujo el uso de gráficos para analizar operadores ilimitados en 1932. ^[4]

Sean X , Y espacios de Banach . Un operador no acotado (o simplemente operador ) T  : D ( T ) → Y es una función lineal T de un subespacio lineal D ( T ) ⊆ X —el dominio de T —al espacio Y . ^[5] Contrariamente a la convención habitual, T no puede estar definido en todo el espacio X .

Se dice que un operador T es cerrado si su grafo Γ( T ) es un conjunto cerrado . ^[6] (Aquí, el grafo Γ( T ) es un subespacio lineal de la suma directa X ⊕ Y , definida como el conjunto de todos los pares ( x , Tx ) , donde x recorre el dominio de T  .) Explícitamente, esto significa que para cada secuencia { x _n } de puntos del dominio de T tales que x _n → x y Tx _n → y , se cumple que x pertenece al dominio de T y Tx = y . ^[6] La clausura también se puede formular en términos de la norma del grafo : un operador T es cerrado si y solo si su dominio D ( T ) es un espacio completo con respecto a la norma: ^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

Se dice que un operador T está densamente definido si su dominio es denso en X. ^[5] Esto también incluye a los operadores definidos en todo el espacio X , ya que todo el espacio es denso en sí mismo. La densidad del dominio es necesaria y suficiente para la existencia del adjunto (si X e Y son espacios de Hilbert) y la transpuesta; consulte las secciones siguientes.

Si T  : X → Y es cerrado, densamente definido y continuo en su dominio, entonces su dominio es todo X . ^{[nb 1]}

Un operador T simétrico densamente definido ^{[ aclaración necesaria ]} en un espacio de Hilbert H se llama acotado desde abajo si T + a es un operador positivo para algún número real a . Es decir, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ − a || x || ² para todo x en el dominio de T (o alternativamente ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² ya que a es arbitrario). ^[8] Si tanto T como − T están acotados desde abajo, entonces T está acotado. ^[8]

Sea C ([0, 1]) el espacio de funciones continuas en el intervalo unitario, y sea C ¹ ([0, 1]) el espacio de funciones continuamente diferenciables. Lo dotamos de la norma suprema, , convirtiéndolo en un espacio de Banach. Definamos el operador de diferenciación clásico ⁠${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$d/Dx⁠  : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) por la fórmula habitual:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Toda función diferenciable es continua, por lo que C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Afirmamos que ⁠d/Dx⁠  : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) es un operador ilimitado bien definido, con dominio C ¹ ([0, 1]) . Para esto, necesitamos demostrar quees lineal y luego, por ejemplo, exhibir algunatal quey. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subconjunto C^{1}([0,1])}$${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$${\displaystyle \sup_{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty}=+\infty}$

Este es un operador lineal, ya que una combinación lineal a f  + bg de dos funciones continuamente diferenciables f  , g también es continuamente diferenciable, y  

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\frac {d}{dx}}f\right)+b\left({\frac {d}{dx}}g\right).}$

El operador no está acotado. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

satisfacer

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

pero

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

como . ${\displaystyle n\to \infty}$

El operador está densamente definido y cerrado.

El mismo operador puede ser tratado como un operador Z → Z para muchas opciones de espacio de Banach Z y no estar acotado entre ninguna de ellas. Al mismo tiempo, puede ser acotado como un operador X → Y para otros pares de espacios de Banach X , Y , y también como operador Z → Z para algunos espacios vectoriales topológicos Z . ^{[ aclaración necesaria ]} Como ejemplo, sea I ⊂ R un intervalo abierto y considere

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

dónde:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

El adjunto de un operador no acotado se puede definir de dos maneras equivalentes. Sea un operador no acotado entre espacios de Hilbert. ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$

Primero, se puede definir de una manera análoga a cómo se define el adjunto de un operador acotado. Es decir, el adjunto de T se define como un operador con la propiedad: Más precisamente, se define de la siguiente manera. Si es tal que es un funcional lineal continuo en el dominio de T , entonces se declara como un elemento de y después de extender el funcional lineal a todo el espacio mediante el teorema de Hahn-Banach , es posible encontrar algunos en tales que dado que el teorema de representación de Riesz permite identificar el dual continuo del espacio de Hilbert con el conjunto de funcionales lineales dado por el producto interno. Este vector está determinado de forma única por si y solo si el funcional lineal está densamente definido; o equivalentemente, si T está densamente definido. Finalmente, dejando que se complete la construcción de que es necesariamente una función lineal. El adjunto existe si y solo si T está densamente definido. ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$$Estilo de visualización T*y$${\displaystyle y\in H_{2}}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$${\estilo de visualización z}$$Estilo de visualización H_{1}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$$Estilo de visualización H_{1}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$$Estilo de visualización T^{*}y=z$${\displaystyle T^{*},}$$Estilo de visualización T*y$

Por definición, el dominio de consiste en elementos en tales que es continuo en el dominio de T . En consecuencia, el dominio de podría ser cualquier cosa; podría ser trivial (es decir, contener solo cero). ^[9] Puede suceder que el dominio de sea un hiperplano cerrado y se anule en todas partes del dominio. ^{[10] [11]} Por lo tanto, la acotación de en su dominio no implica acotación de T . Por otro lado, si está definido en todo el espacio, entonces T está acotado en su dominio y, por lo tanto, puede extenderse por continuidad a un operador acotado en todo el espacio. ^{[nb 2]} Si el dominio de es denso, entonces tiene su adjunto ^[12] Un operador T cerrado y densamente definido está acotado si y solo si está acotado. ^{[nb 3]}$Estilo de visualización T*$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización H_{2}$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$$Estilo de visualización T*$$Estilo de visualización T*$$Estilo de visualización T*$$Estilo de visualización T*$$Estilo de visualización T*$$Estilo de visualización T*$${\displaystyle T^{**}.}$$Estilo de visualización T*$

La otra definición equivalente del adjunto se puede obtener observando un hecho general. Defina un operador lineal como sigue: ^[12] Dado que es una sobreyección isométrica, es unitaria. Por lo tanto: es el gráfico de algún operador si y solo si T está definido densamente. ^[13] Un cálculo simple muestra que este "algún" satisface: para cada x en el dominio de T . Por lo tanto, es el adjunto de T . ${\estilo de visualización J}$ $${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\omás H_{2}\to H_{2}\omás H_{1}\\J(x\omás y)=-y\omás x\end{cases}}}$$${\estilo de visualización J}$${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$${\estilo de visualización S}$

De la definición anterior se deduce inmediatamente que el operador adjunto es cerrado. ^[12] En particular, un operador autoadjunto (es decir ) es cerrado. Un operador T es cerrado y está definido densamente si y solo si ^{[nb 4]}$Estilo de visualización T*$${\displaystyle T=T^{*}}$${\displaystyle T^{**}=T.}$

Algunas propiedades bien conocidas de los operadores acotados se generalizan a los operadores cerrados y densamente definidos. El núcleo de un operador cerrado es cerrado. Además, el núcleo de un operador cerrado y densamente definido coincide con el complemento ortogonal del rango del adjunto. Es decir, ^[14] el teorema de von Neumann establece que y son autoadjuntos, y que y ambos tienen inversas acotadas. ^[15] Si tiene núcleo trivial, T tiene rango denso (por la identidad anterior). Además: ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$ ${\displaystyle T^{*}T}$${\displaystyle TT^{*}}$${\displaystyle I+T^{*}T}$${\displaystyle I+TT^{*}}$${\displaystyle T^{*}}$

T es sobreyectiva si y solo si existe un tal que para todo en ^{[nb 5]} (Esto es esencialmente una variante del llamado teorema de rango cerrado ). En particular, T tiene rango cerrado si y solo si tiene rango cerrado.${\displaystyle K>0}$${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$${\displaystyle T^{*}}$

A diferencia del caso acotado, no es necesario que , por ejemplo, incluso es posible que no exista. ^{[ cita requerida ]} Este es, sin embargo, el caso si, por ejemplo, T está acotado. ^[16]${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$${\displaystyle (TS)^{*}}$

Un operador T cerrado y densamente definido se denomina normal si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^[17]

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• el dominio de T es igual al dominio de y para cada x en este dominio;${\displaystyle T^{*},}$${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$
• Existen operadores autoadjuntos tales que y para cada x en el dominio de T .${\displaystyle A,B}$${\displaystyle T=A+iB,}$${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$

Todo operador autoadjunto es normal.

Sea un operador entre espacios de Banach. Entonces la transpuesta (o dual ) de es el operador lineal que satisface: para todos y Aquí, usamos la notación: ^[18]${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$${\displaystyle x\in B_{1}}$${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$

La condición necesaria y suficiente para que exista la transposición de es que esté densamente definida (esencialmente por la misma razón que para los adjuntos, como se explicó anteriormente). ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Para cualquier espacio de Hilbert existe el isomorfismo antilineal: dado por donde A través de este isomorfismo, la transpuesta se relaciona con la adjunta de la siguiente manera: ^[19] donde . (Para el caso de dimensión finita, esto corresponde al hecho de que la adjunta de una matriz es su transpuesta conjugada). Nótese que esto da la definición de adjunta en términos de una transpuesta. ${\displaystyle H,}$$${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$${\displaystyle Jf=y}$${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$${\displaystyle {}^{t}T}$${\displaystyle T^{*}}$ $${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

Los operadores lineales cerrados son una clase de operadores lineales en espacios de Banach . Son más generales que los operadores acotados y, por lo tanto, no necesariamente continuos , pero aún conservan propiedades lo suficientemente buenas como para que se pueda definir el espectro y (con ciertas suposiciones) el cálculo funcional para dichos operadores. Muchos operadores lineales importantes que no pueden ser acotados resultan ser cerrados, como la derivada y una gran clase de operadores diferenciales .

Sean X , Y dos espacios de Banach . Un operador lineal A  : D ( A ) ⊆ X → Y es cerrado si para cada sucesión { x _n } en D ( A ) que converge a x en X tal que Ax _n → y ∈ Y cuando n → ∞ se tiene x ∈ D ( A ) y Ax = y . Equivalentemente, A es cerrado si su grafo es cerrado en la suma directa X ⊕ Y .

Dado un operador lineal A , no necesariamente cerrado, si el cierre de su grafo en X ⊕ Y resulta ser el grafo de algún operador, ese operador se llama cierre de A , y decimos que A es cerrable . Denotamos el cierre de A por A . De ello se deduce que A es la restricción de A a D ( A ) .

Un núcleo (o dominio esencial ) de un operador cerrable es un subconjunto C de D ( A ) tal que el cierre de la restricción de A a C es A .

Consideremos el operador derivado A = ⁠d/Dx⁠ donde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si uno toma su dominio D ( A ) como C ¹ ([ a , b ]) , entonces A es un operador cerrado que no está acotado. ^[20] Por otro lado, si D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ]) , entonces A ya no estará cerrado, pero será cerrable, siendo la clausura su extensión definida en C ¹ ([ a , b ]) .

Un operador T en un espacio de Hilbert es simétrico si y solo si para cada x e y en el dominio de T tenemos . Un operador T densamente definido es simétrico si y solo si concuerda con su adjunto T ^∗ restringido al dominio de T , en otras palabras cuando T ^∗ es una extensión de T . ^[21]${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

En general, si T está densamente definido y es simétrico, el dominio del adjunto T ^∗ no necesita ser igual al dominio de T . Si T es simétrico y el dominio de T y el dominio del adjunto coinciden, entonces decimos que T es autoadjunto . ^[22] Nótese que, cuando T es autoadjunto, la existencia del adjunto implica que T está densamente definido y dado que T ^∗ es necesariamente cerrado, T es cerrado.

Un operador densamente definido T es simétrico , si el subespacio Γ( T ) (definido en una sección anterior) es ortogonal a su imagen J (Γ( T )) bajo J (donde J ( x , y ):=( y ,- x )). ^{[nb 6]}

De manera equivalente, un operador T es autoadjunto si está densamente definido, cerrado, simétrico y satisface la cuarta condición: ambos operadores T – i , T + i son sobreyectivos, es decir, mapean el dominio de T sobre todo el espacio H . En otras palabras: para cada x en H existen y y z en el dominio de T tales que Ty – iy = x y Tz + iz = x . ^[23]

Un operador T es autoadjunto si los dos subespacios Γ( T ) , J (Γ( T )) son ortogonales y su suma es todo el espacio ^[12]${\displaystyle H\oplus H.}$

Este enfoque no cubre los operadores cerrados no densamente definidos. Los operadores simétricos no densamente definidos pueden definirse directamente o mediante gráficos, pero no mediante operadores adjuntos.

Un operador simétrico a menudo se estudia a través de su transformada de Cayley .

Un operador T en un espacio de Hilbert complejo es simétrico si y sólo si el número es real para todo x en el dominio de T. ^[21]${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

Un operador simétrico cerrado densamente definido T es autoadjunto si y sólo si T ^∗ es simétrico. ^[24] Puede suceder que no lo sea. ^{[25] [26]}

Un operador densamente definido T se denomina positivo ^[8] (o no negativo ^[27] ) si su forma cuadrática es no negativa, es decir, para todo x en el dominio de T. Dicho operador es necesariamente simétrico. ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

El operador T ^∗ T es autoadjunto ^[28] y positivo ^{[8] para cada} T cerrado y densamente definido .

El teorema espectral se aplica a los operadores autoadjuntos ^[29] y, además, a los operadores normales, ^{[30] [31]} pero no a los operadores cerrados y densamente definidos en general, ya que en este caso el espectro puede estar vacío. ^{[32] [33]}

Un operador simétrico definido en todas partes es cerrado, por lo tanto acotado, ^[6] lo cual es el teorema de Hellinger-Toeplitz . ^[34]

Por definición, un operador T es una extensión de un operador S si Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^[35] Una definición directa equivalente: para cada x en el dominio de S , x pertenece al dominio de T y Sx = Tx . ^{[5] [35]}

Nótese que existe una extensión definida en todas partes para cada operador, lo cual es un hecho puramente algebraico explicado en Aplicación lineal discontinua § Teorema general de existencia y basado en el axioma de elección . Si el operador dado no está acotado, entonces la extensión es una aplicación lineal discontinua . Es de poca utilidad ya que no puede preservar propiedades importantes del operador dado (ver más abajo) y, por lo general, es altamente no única.

Un operador T se llama cerrable si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ^{[6] [35] [36]}

• T tiene una extensión cerrada;
• el cierre del grafo de T es el grafo de algún operador;
• para cada secuencia ( x _n ) de puntos del dominio de T tales que x _n → 0 y también Tx _n → y se cumple que y = 0 .

No todos los operadores se pueden cerrar. ^[37]

Un operador cerrable T tiene la extensión mínima cerrada llamada clausura de T. La clausura del gráfico de T es igual al gráfico de ^{[6] [35]} Pueden existir otras extensiones cerradas no mínimas. ^{[25] [26]}${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\overline {T}}.}$

Un operador T densamente definido es cerrable si y solo si T ^∗ está densamente definido. En este caso y ^{[12] [38]}${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

Si S está densamente definido y T es una extensión de S , entonces S ^∗ es una extensión de T ^∗ . ^[39]

Todo operador simétrico es cerrable. ^[40]

Un operador simétrico se denomina simétrico maximalista si no tiene extensiones simétricas, excepto él mismo. ^[21] Todo operador autoadjunto es simétrico maximalista. ^[21] La inversa es incorrecta. ^[41]

Un operador se denomina esencialmente autoadjunto si su cierre es autoadjunto. ^[40] Un operador es esencialmente autoadjunto si y solo si tiene una y solo una extensión autoadjunta. ^[24]

Un operador simétrico puede tener más de una extensión autoadjunta, e incluso un continuo de ellas. ^[26]

Un operador simétrico densamente definido T es esencialmente autoadjunto si y solo si ambos operadores T – i , T + i tienen rango denso. ^[42]

Sea T un operador densamente definido. Denotando la relación " T es una extensión de S " por S ⊂ T (una abreviatura convencional para Γ( S ) ⊆ Γ( T )) se tiene lo siguiente. ^[43]

• Si T es simétrico entonces T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es cerrado y simétrico entonces T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Si T es autoadjunto entonces T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Si T es esencialmente autoadjunto entonces T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

La clase de operadores autoadjuntos es especialmente importante en física matemática. Cada operador autoadjunto está definido densamente, es cerrado y simétrico. Lo inverso es válido para operadores acotados, pero falla en general. La autoadjunción es sustancialmente más restrictiva que estas tres propiedades. El famoso teorema espectral es válido para operadores autoadjuntos. En combinación con el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro, muestra que los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos, véase Operador autoadjunto § Extensiones autoadjuntas en mecánica cuántica . Dichos grupos unitarios son especialmente importantes para describir la evolución temporal en mecánica clásica y cuántica.

• Espacio de Hilbert § Operadores ilimitados
• Teorema de Stone-von Neumann
• Operador acotado

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