Teorema de rango cerrado

En la teoría matemática de los espacios de Banach , el teorema del rango cerrado da condiciones necesarias y suficientes para que un operador cerrado densamente definido tenga un rango cerrado .

El teorema fue demostrado por Stefan Banach en su Théorie des opérations linéaires de 1932 .

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser espacios Banach,${\displaystyle T:D(T)\to Y}$un operador lineal cerrado cuyo dominio${\displaystyle D(T)}$es denso en${\displaystyle X,}$y${\displaystyle T'}$la transpuesta de${\displaystyle T}$El teorema afirma que las siguientes condiciones son equivalentes:

• ${\displaystyle R(T),}$el rango de${\displaystyle T,}$está cerrado en${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$el rango de${\displaystyle T',}$está cerrado en${\displaystyle X',}$el dual de${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{para todo}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{para todo}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

Dónde${\displaystyle N(T)}$y${\displaystyle N(T')}$son el espacio nulo de${\displaystyle T}$y${\displaystyle T'}$, respectivamente.

Tenga en cuenta que siempre hay una inclusión.${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}$, porque si${\displaystyle y=Tx}$y${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$, entonces${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$Asimismo, existe una inclusión.${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}$. Por lo tanto, la parte no trivial del teorema anterior es la inclusión opuesta en los dos últimos puntos.

Del teorema se derivan inmediatamente varios corolarios. Por ejemplo, un operador cerrado densamente definido.${\displaystyle T}$como se ha mencionado anteriormente${\displaystyle R(T)=Y}$si y solo si la transposición${\displaystyle T'}$tiene una inversa continua. De manera similar,${\displaystyle R(T')=X'}$si y solo si${\displaystyle T}$tiene una inversa continua.

Dado que la gráfica de T es cerrada, la demostración se reduce al caso en que${\displaystyle T:X\to Y}$es un operador acotado entre espacios de Banach. Ahora,${\displaystyle T}$factores como${\displaystyle X{\overset {p}{\to }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}\operatorname {im} T{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y}$. De manera dual,${\displaystyle T'}$es

${\displaystyle Y'\to (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\to }}(X/\operatorname {ker} T)'\to X'.}$

Ahora bien, si${\displaystyle \operatorname {im} T}$es cerrado, entonces es Banach y por lo tanto por el teorema de la aplicación abierta ,${\displaystyle T_{0}}$es un isomorfismo topológico. De ello se deduce que${\displaystyle T_{0}'}$es un isomorfismo y luego${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}$(Se necesita más trabajo para las demás implicaciones ) .${\displaystyle \square }$

• https://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-3/node22.html#jtheorem:________________________ en japonés

• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol.  1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 . 
• Yosida, K. (1980), Análisis funcional , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas), vol. 123 (6ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.