Cayley transforma

En matemáticas , la transformada de Cayley , que recibe su nombre de Arthur Cayley , es cualquiera de un conjunto de conceptos relacionados. Tal como la describió originalmente Cayley (1846) , la transformada de Cayley es una correspondencia entre matrices antisimétricas y matrices ortogonales especiales . Esta transformada es una homografía utilizada en análisis real , análisis complejo y análisis cuaterniónico . En la teoría de espacios de Hilbert , la transformada de Cayley es una correspondencia entre operadores lineales ( Nikolski 1988 ) .

Un ejemplo sencillo de transformación de Cayley se puede aplicar a la recta proyectiva real . En este caso, la transformación de Cayley permuta los elementos del intervalo {1, 0, −1, ∞} en secuencia. Por ejemplo, asigna los números reales positivos al intervalo [−1, 1]. De este modo, la transformación de Cayley se utiliza para adaptar los polinomios de Legendre y usarlos con funciones racionales de Legendre en los números reales positivos .

Como una homografía real , los puntos se describen con coordenadas proyectivas y el mapeo es

${\displaystyle [y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

En la mitad superior del plano complejo , la transformada de Cayley es: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle f(z)={\frac {zi}{z+i}}.}$

Desde${\displaystyle \{\infty,1,-1\}}$está asignado a${\displaystyle \{1,-i,i\}}$y las transformaciones de Möbius permutan los círculos generalizados en el plano complejo ,${\displaystyle f}$mapea la línea real al círculo unitario . Además, dado que${\displaystyle f}$es un homeomorfismo y${\displaystyle i}$se lleva a 0 por${\displaystyle f}$, el semiplano superior se asigna al disco unitario .

En términos de los modelos de geometría hiperbólica , esta transformación de Cayley relaciona el modelo del semiplano de Poincaré con el modelo del disco de Poincaré .

En ingeniería eléctrica, la transformada de Cayley se ha utilizado para mapear un semiplano de reactancia al diagrama de Smith, que se utiliza para la adaptación de impedancias de las líneas de transmisión.

En el espacio tetradimensional de los cuaterniones${\displaystyle a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}}$, los versores

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$formen la unidad 3-esfera .

Dado que los cuaterniones no son conmutativos, los elementos de su línea proyectiva tienen coordenadas homogéneas escritas${\displaystyle U[a,b]}$para indicar que el factor homogéneo se multiplica por la izquierda. La transformada de cuaternión es

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[qu,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(qu),\ 1].}$

Las homografías reales y complejas descritas anteriormente son instancias de la homografía de cuaterniones donde${\displaystyle \theta }$es cero o${\displaystyle \pi /2}$, respectivamente. Evidentemente, la transformación toma${\displaystyle u\to 0\to -1}$y toma${\displaystyle -u\to \infty \to 1}$.

Evaluar esta homografía en${\displaystyle q=1}$mapas del versor${\displaystyle u}$en su eje:

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

Pero${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{y}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

De este modo${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

En esta forma, la transformada de Cayley se ha descrito como una parametrización racional de la rotación: Sea${\displaystyle t=\tan \phi /2}$en la identidad de los números complejos ^{[ 3 ]}

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

donde el lado derecho es la transformada de${\displaystyle ti}$y el lado izquierdo representa la rotación del plano por negativo${\displaystyle \phi }$radianes.

Entre las matrices cuadradas n × n sobre los números reales , con I la matriz identidad , sea A cualquier matriz antisimétrica (de modo que A ^T = − A ). 

Entonces I  + A es invertible y la transformada de Cayley 

${\displaystyle Q=(IA)(I+A)^{-1}\,\!}$

produce una matriz ortogonal , Q (de modo que Q ^T Q  = I ). La multiplicación de matrices en la definición de Q anterior es conmutativa, por lo que Q puede definirse alternativamente como${\displaystyle Q=(I+A)^{-1}(IA)}$. De hecho, Q debe tener determinante +1, por lo que es ortogonal especial.

Por el contrario, sea Q cualquier matriz ortogonal que no tenga −1 como valor propio ; entonces

${\displaystyle A=(IQ)(I+Q)^{-1}\,\!}$

es una matriz antisimétrica. (Véase también: Involución ). La condición sobre Q excluye automáticamente las matrices con determinante −1, pero también excluye ciertas matrices ortogonales especiales.

Sin embargo, cualquier matriz de rotación (ortogonal especial) Q puede escribirse como

${\displaystyle Q={\bigl (}(IA)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}}$

para alguna matriz antisimétrica A ; más generalmente cualquier matriz ortogonal Q puede escribirse como

${\displaystyle Q=E(IA)(I+A)^{-1}}$

para alguna matriz antisimétrica A y alguna matriz diagonal E con ±1 como entradas. ^{[ 4 ]}

También se observa una forma ligeramente diferente, ^{[ 5 ] [ 6 ]} que requiere diferentes asignaciones en cada dirección,

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(IA)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(QI)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}}$

Las aplicaciones también pueden escribirse con el orden de los factores invertido; ^{[ 7 ] [ 8 ]} sin embargo, A siempre conmuta con (μ I  ± A ) ⁻¹ , por lo que el reordenamiento no afecta la definición. 

Una versión de dimensión infinita de un espacio con producto interno es un espacio de Hilbert , y ya no se puede hablar de matrices . Sin embargo, las matrices son simplemente representaciones de operadores lineales , y estas pueden utilizarse. Así pues, generalizando tanto la transformación matricial como la transformación del plano complejo, se puede definir una transformada de Cayley de operadores. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}}$

Aquí, el dominio de U , dom U , es ( A + i I ) dom A . Consulte el operador autoadjunto para obtener más detalles.   

• Transformación bilineal
• Extensiones de operadores simétricos

• Sterling K. Berberian (1974) Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores , Textos de posgrado en matemáticas n.° 15, páginas 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
• Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des determinantes gauches" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 (2): 119– 123, doi : 10.1515/crll.1846.32.119 , ISSN 0075-4102 ; reimpreso como artículo 52 (pp.  332–336) en Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley , vol. I (1841–1853), Cambridge University Press , pp. 332– 336  
• Lokenath Debnath y Piotr Mikusiński (1990) Introducción a los espacios de Hilbert con aplicaciones , página 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7
• Gilbert Helmberg (1969) Introducción a la teoría espectral en el espacio de Hilbert , página 288, § 38: La transformada de Cayley, Matemáticas aplicadas y mecánica n.° 6, North Holland
• Nikolski, Nikolai Kapitonovich (1988), "Cayley transform" , en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , vol.  2, Kluwer, pág.  80, doi : 10.1007/978-94-009-6000-8 , ISBN 978-94-009-6002-2; Traducido del ruso Vinogradov, Ivan Matveevich , ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya , Moscú: Sovetskaya Entsiklopediya
• Henry Ricardo (2010) Una introducción moderna al álgebra lineal , página 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​