Línea proyectiva real

En geometría , una recta proyectiva real es una recta proyectiva sobre los números reales . Es una extensión del concepto habitual de recta , introducido históricamente para resolver un problema de perspectiva visual : dos rectas paralelas no se intersecan, pero parecen hacerlo en el infinito. Para resolver este problema, se introdujeron puntos en el infinito , de tal manera que en un plano proyectivo real , dos rectas proyectivas distintas convergen en un único punto. El conjunto de estos puntos en el infinito, el horizonte de la perspectiva visual en el plano, constituye una recta proyectiva real. Es el conjunto de direcciones que emanan de un observador situado en cualquier punto, donde se identifican las direcciones opuestas.

Un ejemplo de recta proyectiva real es la recta real extendida proyectivamente , que a menudo se denomina recta proyectiva.

Formalmente, una recta proyectiva real P ( R ) se define como el conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales. Los automorfismos de una recta proyectiva real se denominan transformaciones proyectivas , homografías o transformaciones lineales fraccionarias . Forman el grupo lineal proyectivo PGL(2, R ). Cada elemento de PGL(2, R ) puede definirse mediante una matriz real no singular de 2×2, y dos matrices definen el mismo elemento de PGL(2, R ) si una es el producto de la otra y un número real distinto de cero.

Topológicamente, las rectas proyectivas reales son homeomorfas a los círculos . El análogo complejo de una recta proyectiva real es una recta proyectiva compleja , también llamada esfera de Riemann .

Definición

Los puntos de la recta proyectiva real se definen habitualmente como clases de equivalencia de una relación de equivalencia . El punto de partida es un espacio vectorial real de dimensión 2, $V. En$ $V ∖ 0,$ definimos la relación binaria $v ~ w$ como válida cuando existe un número real no nulo $t$ tal que $v = t w$ . La definición de un espacio vectorial implica casi inmediatamente que se trata de una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son las rectas vectoriales de las que se ha eliminado el vector nulo. La recta proyectiva real $P (V)$ es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia se considera como un único punto, o, dicho de otro modo, un punto se define como una clase de equivalencia.

Si se elige una base de $V$ , esto equivale (al identificar un vector con su vector de coordenadas ) a identificar $V$ con el producto directo $R \times R = R 2$ , y la relación de equivalencia se convierte en $(x, y) ~ (w, z)$ si existe un número real no nulo $t$ tal que $(x, y) = (tw, tz)$ . En este caso, la recta proyectiva $P (R 2)$ se denota preferiblemente como $P 1 (R)$ o $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ La clase de equivalencia del par $(x, y)$ se denota tradicionalmente como $[x : y]$ , donde los dos puntos en la notación recuerdan que, si $y \neq 0$ , la razón $x : y$ es la misma para todos los elementos de la clase de equivalencia. Si un punto $P$ es la clase de equivalencia $[x : y],$ se dice que $(x, y)$ es un par de coordenadas proyectivas de $P.$ ^{[ 1 ]}

Como $P (V)$ se define mediante una relación de equivalencia, la proyección canónica de $V$ a $P (V)$ define una topología (la topología cociente ) y una estructura diferencial en la línea proyectiva. Sin embargo, el hecho de que las clases de equivalencia no sean finitas induce algunas dificultades para definir la estructura diferencial. Estas se resuelven considerando $V$ como un espacio vectorial euclidiano . El círculo de los vectores unitarios es, en el caso de $R²$ $,$ el conjunto de vectores cuyas coordenadas satisfacen $x² + y² = 1. Este círculo interseca cada clase$ $de equivalencia en exactamente dos puntos opuestos. Por$ $lo$ tanto, la línea proyectiva puede considerarse como el espacio cociente del círculo mediante la relación de equivalencia tal que $v ~ w$ si y solo si $v = w$ o $v = -w$ .

Gráficos

La línea proyectiva es una variedad . Esto se puede ver mediante la construcción anterior a través de una relación de equivalencia, pero es más fácil de entender proporcionando un atlas que consta de dos cartas.

Gráfico n.º 1: $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$
Gráfico n.º 2: $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$

La relación de equivalencia establece que todos los representantes de una clase de equivalencia se asignan al mismo número real mediante una tabla.

Cualquiera de los dos, $x$ o $y,$ puede ser cero, pero no ambos, por lo que se necesitan ambas cartas para cubrir la línea proyectiva. El mapa de transición entre estas dos cartas es el inverso multiplicativo . Como es una función diferenciable , e incluso una función analítica (distinta de cero), la línea proyectiva real es a la vez una variedad diferenciable y una variedad analítica .

La función inversa del gráfico n.° 1 es el mapa

x\mapsto [x:1].

Define una incrustación de la recta real en la recta proyectiva, cuyo complemento de la imagen es el punto $[1: 0]$ . El par formado por esta incrustación y la recta proyectiva se denomina recta real extendida proyectivamente . Al identificar la recta real con su imagen mediante esta incrustación, se observa que la recta proyectiva puede considerarse como la unión de la recta real y el punto $[1: 0]$ , denominado punto en el infinito de la recta real extendida proyectivamente, y denotado por $\infty . Esta incrustación nos$ $permite$ identificar el punto $[x : y]$ con el número real $x / y si$ y $\neq 0$ , o con $\infty$ en caso contrario.

La misma construcción puede realizarse con el otro gráfico. En este caso, el punto en el infinito es $[0: 1]$ . Esto demuestra que la noción de punto en el infinito no es intrínseca a la recta proyectiva real, sino que es relativa a la elección de una incrustación de la recta real en la recta proyectiva.

Estructura

Los puntos de la recta proyectiva real pueden asociarse con pares de puntos antipodales en un círculo. Generalmente, un espacio proyectivo n-dimensional se forma a partir de pares antipodales en una esfera en el espacio (n+1); en este caso, la esfera es un círculo en el plano.

La recta proyectiva real es un rango proyectivo completo que se encuentra en el plano proyectivo real y en la recta proyectiva compleja. Su estructura, por lo tanto, se hereda de estas superestructuras. Entre estas estructuras, destaca la relación de conjugados armónicos proyectivos entre los puntos del rango proyectivo.

La recta proyectiva real tiene un orden cíclico que extiende el orden usual de los números reales.

Automorfismos

El grupo lineal proyectivo y su acción

La multiplicación matriz-vector define una acción derecha de $GL 2 (R)$ sobre el espacio $R 2$ de vectores fila : explícitamente,

(x,y){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=(ax+by:cx+dy).

Dado que cada matriz en $GL 2 (R)$ fija el vector cero y mapea vectores proporcionales a vectores proporcionales, existe una acción inducida de $GL 2 (R)$ sobre $P 1 (R)$ : explícitamente, ^{[ 2 ]}

[x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[ax+by:cx+dy].

(Aquí y abajo, la notación $[x:y]$ para coordenadas homogéneas denota la clase de equivalencia del vector fila.

Los elementos de $GL 2 (R)$ que actúan trivialmente sobre $P 1 (R)$ son los múltiplos escalares no nulos de la matriz identidad; estos forman un subgrupo denotado $R \times$ . El grupo lineal proyectivo se define como el grupo cociente $PGL 2 (R) = GL 2 (R)/ R \times$ . Por lo anterior, existe una acción fiel inducida de $PGL 2 (R)$ sobre $P 1 (R)$ . Por esta razón, el grupo $PGL 2 (R)$ también puede llamarse el grupo de automorfismos lineales de $P 1 (R)$ .

Transformaciones fraccionarias lineales

Utilizando la identificación $R \cup \infty \to P 1 (R)$ enviando $x$ a $[x :1]$ e $\infty$ a $[1:0]$ , se obtiene una acción correspondiente de $PGL 2 (R)$ sobre $R \cup \infty$ , que es mediante transformaciones fraccionarias lineales : explícitamente, dado que

[x:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[ax+b:cx+d]\quad \mathrm {y} \quad [1:0]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[a:c],

la clase de ${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$ en $PGL 2 (R)$ actúa como $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ con el entendimiento de que cada fracción con denominador 0 debe interpretarse como $\infty$ . ^{[ 3 ]} y $\infty \mapsto {\frac {a}{c}}$ . ^{[ 4 ]}

Algunos autores utilizan la acción izquierda sobre vectores columna, lo que implica intercambiar b y c en el operador matricial. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Propiedades

Dadas dos ternas ordenadas de puntos distintos en $P 1 (R)$ , existe un único elemento de $PGL 2 (R)$ que mapea la primera terna a la segunda; es decir, la acción es 3-transitiva . Por ejemplo, la transformación fraccionaria lineal que mapea $(0, 1, \infty)$ a $(-1, 0, 1)$ es la transformación de Cayley. $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ .
El estabilizador en $PGL 2 (R)$ del punto $\infty$ es el grupo afín de la recta real, que consiste en las transformaciones $x\mapsto ax+b$ para todo $a \in R *$ y $b \in R$ .

Véase también

Notas

↑ El argumento utilizado para construir $P 1 (R)$ también se puede utilizar con cualquier campo K y cualquier dimensión para construir el espacio proyectivo $P n (K)$ .
↑ Miyake, Modular forms , Springer, 2006, §1.1. Esta referencia y algunas de las otras que aparecen a continuación trabajan con $P 1 (C)$ en lugar de $P 1 (R)$ , pero el principio es el mismo.
↑ Koblitz, Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Springer, 1993, III.§1.
↑ Lang, Análisis complejo , Springer, 1999, VII, §5.
↑ Lang, Funciones elípticas , Springer, 1987, 3.§1.
↑ Serre, Un curso de aritmética , Springer, 1973, VII.1.1.
↑ Stillwell, Las matemáticas y su historia , Springer, 2010, §8.6

Referencias

Juan Carlos Álvarez Paiva (2000) La línea proyectiva real , material didáctico de la Universidad de Nueva York .
Santiago Cañez (2014) Notas sobre geometría proyectiva de la Universidad Northwestern .

[1] El argumento utilizado para construir $P 1 (R)$ también se puede utilizar con cualquier campo K y cualquier dimensión para construir el espacio proyectivo $P n (K)$ .

[2] Miyake, Modular forms , Springer, 2006, §1.1. Esta referencia y algunas de las otras que aparecen a continuación trabajan con $P 1 (C)$ en lugar de $P 1 (R)$ , pero el principio es el mismo.

[3] Koblitz, Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Springer, 1993, III.§1.

[4] Lang, Análisis complejo , Springer, 1999, VII, §5.

[5] Lang, Funciones elípticas , Springer, 1987, 3.§1.

[6] Serre, Un curso de aritmética , Springer, 1973, VII.1.1.

[7] Stillwell, Las matemáticas y su historia , Springer, 2010, §8.6

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