Coordenadas homogéneas

En matemáticas , las coordenadas homogéneas o proyectivas , introducidas por August Ferdinand Möbius en su obra de 1827 Der barycentrische Calcul , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} son ​​un sistema de coordenadas utilizado en geometría proyectiva , al igual que las coordenadas cartesianas se utilizan en geometría euclidiana . Tienen la ventaja de que las coordenadas de los puntos, incluidos los puntos en el infinito , pueden representarse mediante coordenadas finitas. Las fórmulas que involucran coordenadas homogéneas suelen ser más simples y simétricas que sus contrapartes cartesianas. Las coordenadas homogéneas tienen diversas aplicaciones, como gráficos por computadora y visión artificial 3D , donde permiten representar fácilmente transformaciones afines y, en general, transformaciones proyectivas mediante una matriz . También se utilizan en algoritmos fundamentales de criptografía de curvas elípticas . ^{[ 4 ]}

Si las coordenadas homogéneas de un punto se multiplican por un escalar distinto de cero , las coordenadas resultantes representan el mismo punto. Dado que también se asignan coordenadas homogéneas a puntos en el infinito, el número de coordenadas necesarias para permitir esta extensión es uno más que la dimensión del espacio proyectivo considerado. Por ejemplo, se requieren dos coordenadas homogéneas para especificar un punto en la recta proyectiva y tres coordenadas homogéneas para especificar un punto en el plano proyectivo.

El plano proyectivo real puede considerarse como el plano euclidiano con puntos adicionales, llamados puntos en el infinito , que se consideran situados en una nueva línea, la línea en el infinito . Existe un punto en el infinito correspondiente a cada dirección (dado numéricamente por la pendiente de una línea), definido informalmente como el límite de un punto que se mueve en esa dirección alejándose del origen. Se dice que las líneas paralelas en el plano euclidiano se intersecan en un punto en el infinito que corresponde a su dirección común. Dado un punto${\displaystyle (x,y)}$en el plano euclidiano, para cualquier número real distinto de cero${\displaystyle Z}$, el triple${\displaystyle (xZ,yZ,Z)}$se denomina un conjunto de coordenadas homogéneas para el punto. Según esta definición, multiplicar las tres coordenadas homogéneas por un factor común distinto de cero da como resultado un nuevo conjunto de coordenadas homogéneas para el mismo punto. En particular,${\displaystyle (x,y,1)}$es tal sistema de coordenadas homogéneas para el punto${\displaystyle (x,y)}$Por ejemplo, el punto cartesiano${\displaystyle (1,2)}$puede representarse en coordenadas homogéneas como${\displaystyle (1,2,1)}$o${\displaystyle (2,4,2)}$Las coordenadas cartesianas originales se recuperan dividiendo las dos primeras posiciones entre la tercera. Por lo tanto, a diferencia de las coordenadas cartesianas, un solo punto puede representarse mediante infinitas coordenadas homogéneas.

La ecuación de una recta que pasa por el origen.${\displaystyle (0,0)}$puede estar escrito${\displaystyle nx+my=0}$dónde${\displaystyle n}$y${\displaystyle m}$no son ambos${\displaystyle 0}$En forma paramétrica esto se puede escribir${\displaystyle x=mt,y=-nt}$. Dejar${\displaystyle Z=1/t}$, por lo que las coordenadas de un punto en la línea se pueden escribir${\displaystyle (m/Z,-n/Z)}$En coordenadas homogéneas esto se convierte en${\displaystyle (m,-n,Z)}$. En el límite, como${\displaystyle t}$se aproxima al infinito, en otras palabras, a medida que el punto se aleja del origen,${\displaystyle Z}$aproches${\displaystyle 0}$y las coordenadas homogéneas del punto se convierten en${\displaystyle (m,-n,0)}$. Así definimos${\displaystyle (m,-n,0)}$como las coordenadas homogéneas del punto en el infinito correspondientes a la dirección de la línea${\displaystyle nx+my=0}$Como cualquier línea del plano euclidiano es paralela a una línea que pasa por el origen, y dado que las líneas paralelas tienen el mismo punto en el infinito, al punto infinito en cada línea del plano euclidiano se le han dado coordenadas homogéneas.

En resumen:

• Cualquier punto en el plano proyectivo está representado por una tripleta${\displaystyle (X,Y,Z)}$, llamadas 'coordenadas homogéneas' o 'coordenadas proyectivas' del punto, donde${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$no todos son${\displaystyle 0}$.
• El punto representado por un conjunto dado de coordenadas homogéneas no cambia si las coordenadas se multiplican por un factor común.
• Por el contrario, dos conjuntos de coordenadas homogéneas representan el mismo punto si y solo si uno se obtiene del otro multiplicando todas las coordenadas por la misma constante distinta de cero.
• Cuando${\displaystyle Z}$no lo es${\displaystyle 0}$el punto representado es el punto${\displaystyle (X/Z,Y/Z)}$en el plano euclidiano.
• Cuando${\displaystyle Z}$es${\displaystyle 0}$El punto representado es un punto en el infinito.

El triple${\displaystyle (0,0,0)}$se omite y no representa ningún punto. El origen del plano euclidiano está representado por${\displaystyle (0,0,1)}$. ^{[ 5 ]}

La discusión de la sección anterior se aplica de forma análoga a espacios proyectivos distintos del plano. Así, los puntos en la línea proyectiva pueden representarse mediante pares de coordenadas.${\displaystyle (x,y)}$, no ambos cero. En este caso, el punto en el infinito es${\displaystyle (1,0)}$. De manera similar los puntos en proyectivo${\displaystyle n}$-espacio se representan por${\displaystyle (n+1)}$-tuplas. ^{[ 9 ]}

El uso de números reales proporciona coordenadas homogéneas de puntos en el caso clásico de los espacios proyectivos reales; sin embargo, se puede utilizar cualquier campo , en particular, los números complejos para el espacio proyectivo complejo . Por ejemplo, la recta proyectiva compleja utiliza dos coordenadas complejas homogéneas y se conoce como esfera de Riemann . También se pueden utilizar otros campos, incluidos los campos finitos .

También se pueden crear coordenadas homogéneas para espacios proyectivos con elementos de un anillo de división (un cuerpo sesgado). Sin embargo, en este caso, se debe tener cuidado de considerar que la multiplicación puede no ser conmutativa . ^{[ 10 ]}

Para el anillo general A , se puede definir una línea proyectiva sobre A con factores homogéneos actuando a la izquierda y el grupo lineal proyectivo actuando a la derecha.

Otra definición del plano proyectivo real puede darse en términos de clases de equivalencia . Para elementos no nulos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, definir${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})\sim (x_{2},y_{2},z_{2})}$para significar que hay un valor distinto de cero${\displaystyle \lambda }$de modo que${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})=(\lambda x_{2},\lambda y_{2},\lambda z_{2})}$. Entonces${\displaystyle \sim }$es una relación de equivalencia y el plano proyectivo puede definirse como las clases de equivalencia de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}.}$Si${\displaystyle (x,y,z)}$es uno de los elementos de la clase de equivalencia${\displaystyle p}$entonces se consideran coordenadas homogéneas de${\displaystyle p}$.

Las líneas en este espacio se definen como conjuntos de soluciones de ecuaciones de la forma${\displaystyle ax+by+cz=0}$donde no todos${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$son cero. Satisfacción de la condición${\displaystyle ax+by+cz=0}$depende únicamente de la clase de equivalencia de${\displaystyle (x,y,z),}$Así, la ecuación define un conjunto de puntos en el plano proyectivo. El mapeo${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,1)}$define una inclusión del plano euclidiano al plano proyectivo y el complemento de la imagen es el conjunto de puntos con${\displaystyle z=0}$La ecuación${\displaystyle z=0}$es la ecuación de una línea en el plano proyectivo ( véase la definición de una línea en el plano proyectivo ) y se denomina línea en el infinito.

Las clases de equivalencia,${\displaystyle p}$son las líneas que pasan por el origen con el origen eliminado. El origen no juega realmente un papel esencial en la discusión anterior, por lo que se puede agregar nuevamente sin cambiar las propiedades del plano proyectivo. Esto produce una variación en la definición, a saber, el plano proyectivo se define como el conjunto de líneas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$que pasan por el origen y las coordenadas de un elemento distinto de cero${\displaystyle (x,y,z)}$ Las coordenadas de una línea se consideran coordenadas homogéneas de la misma. Estas líneas se interpretan ahora como puntos en el plano proyectivo.

Nuevamente, esta discusión se aplica de forma análoga a otras dimensiones. Así, el espacio proyectivo de dimensión n puede definirse como el conjunto de líneas que pasan por el origen en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. ^{[ 11 ]}

Las coordenadas homogéneas no están determinadas de forma única por un punto, por lo que una función definida en las coordenadas, digamos... ${\displaystyle f(x,y,z)}$, no determina una función definida en puntos como con coordenadas cartesianas. Pero una condición${\displaystyle f(x,y,z)=0}$definida en las coordenadas, como podría usarse para describir una curva, determina una condición en los puntos si la función es homogénea . Específicamente, supongamos que hay una${\displaystyle k}$de tal manera que

$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z).}$$

Si un conjunto de coordenadas representa el mismo punto que${\displaystyle (x,y,z)}$entonces se puede escribir ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$para algún valor distinto de cero de${\displaystyle \lambda }$. Entonces

$${\displaystyle f(x,y,z)=0\iff f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)=0.}$$

Un polinomio${\displaystyle g(x,y)}$de grado${\displaystyle k}$se puede convertir en un polinomio homogéneo reemplazando${\displaystyle x}$con${\displaystyle x/z}$,${\displaystyle y}$con${\displaystyle y/z}$y multiplicando por${\displaystyle z^{k}}$, en otras palabras, definiendo

$${\displaystyle f(x,y,z)=z^{k}g(x/z,y/z).}$$

La función resultante${\displaystyle f}$es un polinomio, por lo que tiene sentido extender su dominio a ternas donde${\displaystyle z=0}$El proceso se puede revertir configurando${\displaystyle z=1}$, o

$${\displaystyle g(x,y)=f(x,y,1).}$$

La ecuación${\displaystyle f(x,y,z)=0}$entonces puede pensarse como la forma homogénea de ${\displaystyle g(x,y)=0}$y define la misma curva cuando se restringe al plano euclidiano. Por ejemplo, la forma homogénea de la ecuación de la línea${\displaystyle ax+by+c=0}$es${\displaystyle ax+by+cz=0.}$^{[ 12 ]}

La ecuación de una recta en el plano proyectivo se puede expresar como:${\displaystyle sx+ty+uz=0}$dónde${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$y${\displaystyle u}$son constantes. Cada triple${\displaystyle (s,t,u)}$determina una línea, la línea determinada no cambia si se multiplica por un escalar distinto de cero, y al menos uno de${\displaystyle s}$,${\displaystyle t}$y${\displaystyle u}$debe ser distinto de cero. Por lo tanto, el triple${\displaystyle (s,t,u)}$pueden considerarse coordenadas homogéneas de una línea en el plano proyectivo, es decir, coordenadas de línea en contraposición a coordenadas de punto. Si en${\displaystyle sx+ty+uz=0}$las cartas${\displaystyle s}$,${\displaystyle t}$y${\displaystyle u}$se toman como variables y ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$Si se toman como constantes, la ecuación se convierte en una ecuación de un conjunto de líneas en el espacio de todas las líneas en el plano. Geométricamente representa el conjunto de líneas que pasan por el punto${\displaystyle (x,y,z)}$y puede interpretarse como la ecuación del punto en coordenadas de línea. De la misma manera, a los planos en el espacio tridimensional se les pueden asignar conjuntos de cuatro coordenadas homogéneas, y así sucesivamente para dimensiones superiores. ^{[ 13 ]}

La misma relación,${\displaystyle sx+ty+uz=0}$, puede considerarse como la ecuación de una recta o la ecuación de un punto. En general, no existe diferencia, ni algebraica ni lógica, entre las coordenadas homogéneas de puntos y rectas. Por lo tanto, la geometría plana con puntos como elementos fundamentales y la geometría plana con rectas como elementos fundamentales son equivalentes, salvo en la interpretación. Esto conduce al concepto de dualidad en geometría proyectiva, el principio de que los roles de puntos y rectas pueden intercambiarse en un teorema de geometría proyectiva y el resultado también será un teorema. Análogamente, la teoría de puntos en el espacio proyectivo tridimensional es dual a la teoría de planos en el espacio proyectivo tridimensional, y así sucesivamente para dimensiones superiores. ^{[ 14 ]}

Asignar coordenadas a líneas en el espacio proyectivo tridimensional es más complicado ya que parece que se requieren un total de 8 coordenadas, ya sean las coordenadas de dos puntos que se encuentran en la línea o de dos planos cuya intersección es la línea. Un método útil, debido a Julius Plücker , crea un conjunto de seis coordenadas como determinantes. ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}(1\leq i<j\leq 4)}$a partir de las coordenadas homogéneas de dos puntos${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$y${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$en la línea. La incrustación de Plücker es la generalización de esto para crear coordenadas homogéneas de elementos de cualquier dimensión.${\displaystyle m}$en un espacio proyectivo de dimensión${\displaystyle n}$. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

La forma homogénea para la ecuación de un círculo en el plano proyectivo real o complejo es ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+2axz+2byz+cz^{2}=0}$La intersección de esta curva con la línea en el infinito se puede encontrar estableciendo${\displaystyle z=0}$Esto produce la ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$que tiene dos soluciones sobre los números complejos, dando lugar a los puntos con coordenadas homogéneas${\displaystyle (1,i,0)}$y${\displaystyle (1,-i,0)}$en el plano proyectivo complejo. Estos puntos se denominan puntos circulares en el infinito y pueden considerarse como los puntos comunes de intersección de todos los círculos. Esto puede generalizarse a curvas de orden superior como curvas algebraicas circulares . ^{[ 17 ]}

Así como la selección de ejes en el sistema de coordenadas cartesianas es en cierto modo arbitraria, la selección de un único sistema de coordenadas homogéneas entre todos los posibles también lo es. Por lo tanto, resulta útil conocer la relación entre los distintos sistemas.

Dejar${\displaystyle (x,y,z}$) sean coordenadas homogéneas de un punto en el plano proyectivo. Una matriz fija $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}},}$$ con determinante distinto de cero , define un nuevo sistema de coordenadas${\displaystyle (X,Y,Z)}$por la ecuación $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$ Multiplicación de${\displaystyle (x,y,z)}$por un escalar da como resultado la multiplicación de${\displaystyle (X,Y,Z)}$por el mismo escalar, y${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$no puede ser todo${\displaystyle 0}$a menos que${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$son todos cero ya que${\displaystyle A}$es no singular. Entonces${\displaystyle (X,Y,Z)}$son un nuevo sistema de coordenadas homogéneas para el mismo punto del plano proyectivo.

La formulación original de Möbius sobre coordenadas homogéneas especificaba la posición de un punto como el centro de masa (o baricentro) de un sistema de tres masas puntuales situadas en los vértices de un triángulo fijo. Los puntos dentro del triángulo se representan con masas positivas y los puntos fuera del triángulo con masas negativas. Multiplicar las masas del sistema por un escalar no afecta al centro de masa, por lo que se trata de un caso particular de un sistema de coordenadas homogéneas.

Dejar${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$Sean tres líneas en el plano y definan un conjunto de coordenadas.${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$de un punto ${\displaystyle p}$como las distancias señaladas desde${\displaystyle p}$a estas tres líneas. Estas se denominan coordenadas trilineales de${\displaystyle p}$ con respecto al triángulo cuyos vértices son las intersecciones por pares de las líneas. Estrictamente hablando, estas no son homogéneas, ya que los valores de${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$se determinan exactamente, no solo hasta la proporcionalidad. Sin embargo, existe una relación lineal entre ellas, por lo que estas coordenadas se pueden hacer homogéneas permitiendo múltiplos de ${\displaystyle (X,Y,Z)}$para representar el mismo punto. Más generalmente,${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$y${\displaystyle Z}$pueden definirse como constantes${\displaystyle p}$,${\displaystyle r}$y${\displaystyle q}$veces las distancias a${\displaystyle l}$,${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, lo que resulta en un sistema diferente de coordenadas homogéneas con el mismo triángulo de referencia. Este es, de hecho, el tipo más general de sistema de coordenadas homogéneas para puntos en el plano si ninguna de las líneas es la línea en el infinito. ^{[ 18 ]}

Demostración de transformación de matriz de coordenadas homogéneas. Ajuste los números de la matriz para aplicar dicha transformación a la imagen.

Las coordenadas homogéneas son omnipresentes en los gráficos por computadora porque permiten representar operaciones vectoriales comunes, como traslación , rotación , escalado y proyección en perspectiva, como una matriz por la cual se multiplica el vector. Mediante la regla de la cadena , cualquier secuencia de dichas operaciones se puede multiplicar en una sola matriz, lo que permite un procesamiento simple y eficiente. Por el contrario, al usar coordenadas cartesianas, las traslaciones y la proyección en perspectiva no se pueden expresar como multiplicaciones de matrices, aunque otras operaciones sí. Las tarjetas gráficas modernas OpenGL y Direct3D aprovechan las coordenadas homogéneas para implementar un sombreador de vértices de manera eficiente utilizando procesadores vectoriales con registros de 4 elementos. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

Por ejemplo, en la proyección en perspectiva, una posición en el espacio se asocia con la línea que va desde ella hasta un punto fijo llamado centro de proyección . Luego, el punto se proyecta sobre un plano al encontrar el punto de intersección de ese plano con la línea. Esto produce una representación precisa de cómo se ve un objeto tridimensional a simple vista. En la situación más simple, el centro de proyección es el origen y los puntos se proyectan sobre el plano.${\displaystyle z=1}$, trabajando por el momento en coordenadas cartesianas. Para un punto dado en el espacio,${\displaystyle (x,y,z)}$, el punto donde la línea y el plano se intersecan es${\displaystyle (x/z,y/z,1)}$. Dejando de lado lo ahora superfluo${\displaystyle z}$coordina, esto se convierte en${\displaystyle (x/z,y/z)}$En coordenadas homogéneas, el punto${\displaystyle (x,y,z)}$está representado por${\displaystyle (xw,yw,zw,w)}$y el punto al que se corresponde en el plano está representado por${\displaystyle (xw,yw,zw)}$, por lo que la proyección puede representarse en forma matricial como $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$$ Las matrices que representan otras transformaciones geométricas pueden combinarse con esta y entre sí mediante la multiplicación de matrices . Como resultado, cualquier proyección en perspectiva del espacio puede representarse como una sola matriz. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

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