Línea en el infinito

En geometría y topología , la línea en el infinito es una línea proyectiva que se añade al plano afín para dar cierre y eliminar los casos excepcionales de las propiedades de incidencia del plano proyectivo resultante . La línea en el infinito también se denomina línea ideal . ^{[ 1 ]}

En geometría proyectiva, cualquier par de rectas siempre se intersecan en algún punto, pero las rectas paralelas no se intersecan en el plano real. La recta del infinito se añade al plano real. Esto completa el plano, ya que ahora las rectas paralelas se intersecan en un punto que se encuentra sobre la recta del infinito. Además, si cualquier par de rectas no se intersecan en ningún punto de la recta del infinito, entonces son paralelas.

Cada línea interseca la línea del infinito en algún punto. El punto en el que se intersecan las líneas paralelas depende únicamente de la pendiente de las líneas, y no en absoluto de su intersección con el eje y .

En el plano afín, una línea se extiende en dos direcciones opuestas. En el plano proyectivo, las dos direcciones opuestas de una línea se encuentran en un punto de la línea en el infinito. Por lo tanto, las líneas en el plano proyectivo son curvas cerradas , es decir, son cíclicas en lugar de lineales. Esto se cumple para la línea en el infinito; se encuentra consigo misma en sus dos extremos (que, por lo tanto, en realidad no son extremos) y, por consiguiente, es cíclica.

Si consideramos el plano afín real, la línea en el infinito puede visualizarse como un círculo que lo rodea. Sin embargo, los puntos diametralmente opuestos del círculo son equivalentes; son el mismo punto. La combinación del plano afín real y la línea en el infinito da como resultado el plano proyectivo real , .${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$

Una hipérbola puede considerarse una curva cerrada que interseca la recta del infinito en dos puntos distintos. Estos dos puntos están determinados por las pendientes de las dos asíntotas de la hipérbola. De igual modo, una parábola puede considerarse una curva cerrada que interseca la recta del infinito en un único punto. Este punto está determinado por la pendiente del eje de la parábola. Si la parábola se divide en dos "cuernos" simétricos a medida que se aleja del vértice, estos dos cuernos se vuelven más paralelos entre sí y, de hecho, son paralelos al eje y entre sí en el infinito, de modo que se intersecan en la recta del infinito.

El análogo del plano proyectivo complejo es una «línea» en el infinito que es (naturalmente) una línea proyectiva compleja . Topológicamente, esto es bastante diferente, ya que se trata de una esfera de Riemann , que por lo tanto es una 2- esfera , añadida a un espacio afín complejo de dos dimensiones sobre (es decir, cuatro dimensiones reales ), lo que da como resultado una variedad compacta de cuatro dimensiones . El resultado es orientable , mientras que el plano proyectivo real no lo es.${\displaystyle \mathbb {C} }$

La línea compleja en el infinito fue muy utilizada en la geometría del siglo XIX. De hecho, uno de los trucos más aplicados fue considerar un círculo como una cónica restringida a pasar por dos puntos en el infinito, las soluciones de

$${\displaystyle X^{2}+Y^{2}=0.}$$

Esta ecuación es la forma que adopta la de cualquier círculo cuando omitimos términos de menor orden en X e Y. Formalmente, deberíamos usar coordenadas homogéneas.

$${\displaystyle [X:Y:Z]}$$

y tenga en cuenta que la línea en el infinito se especifica estableciendo Z = 0 .

Hacer que las ecuaciones sean homogéneas introduciendo potencias de Z y luego estableciendo Z = 0 , elimina precisamente los términos de orden inferior.

Por lo tanto, al resolver la ecuación, encontramos que todos los círculos "pasan" por los puntos circulares en el infinito.

$${\displaystyle I=[1:i:0],\quad J=[1:-i:0].}$$

Estos son, por supuesto, puntos complejos para cualquier conjunto de coordenadas homogéneas representativas. Sin embargo, dado que el plano proyectivo posee un grupo de simetría suficientemente grande, no presentan ninguna particularidad. La conclusión es que la familia de círculos de tres parámetros puede tratarse como un caso especial del sistema lineal de cónicas que pasan por dos puntos distintos P y Q.

• Geometría elíptica §  Plano elíptico
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• Postulado paralelo
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• Apunta al infinito