Plano en el infinito

En geometría proyectiva , un plano en el infinito es el hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo tridimensional o cualquier plano contenido en el hiperplano en el infinito de cualquier espacio proyectivo de dimensión superior. Este artículo se centrará exclusivamente en el caso tridimensional.

Hay dos enfoques para definir el plano en el infinito que dependen de si se parte de un espacio tridimensional proyectivo o de un espacio tridimensional afín .

Si se da un espacio proyectivo tridimensional, el plano en el infinito es cualquier plano proyectivo distinguido del espacio. ^{[ 1 ]} Este punto de vista enfatiza el hecho de que este plano no es geométricamente diferente de cualquier otro plano. Por otro lado, dado un espacio afín tridimensional, el plano en el infinito es un plano proyectivo que se agrega al espacio afín tridimensional para darle propiedades de cierre de incidencia . Esto significa que los puntos del plano en el infinito son los puntos donde se encontrarán las líneas paralelas del espacio afín tridimensional, y las líneas son las líneas donde se encontrarán los planos paralelos del espacio afín tridimensional. El resultado de la adición es el espacio proyectivo tridimensional,${\displaystyle P^{3}}$Este punto de vista enfatiza la estructura interna del plano en el infinito, pero lo hace parecer "especial" en comparación con los otros planos del espacio.

Si el espacio tridimensional afín es real,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, luego la adición de un plano proyectivo real${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$en el infinito produce el espacio proyectivo real tridimensional.${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$.

Dado que cualesquiera dos planos proyectivos en un espacio proyectivo tridimensional son equivalentes, podemos elegir un sistema de coordenadas homogéneas de modo que cualquier punto en el plano en el infinito se represente como ( X : Y : Z :0). ^{[ 2 ]} Cualquier punto en el espacio afín tridimensional se representará entonces como ( X : Y : Z :1). Los puntos en el plano en el infinito parecen tener tres grados de libertad, pero las coordenadas homogéneas son equivalentes salvo cualquier reescalamiento:

${\displaystyle (X:Y:Z:0)\equiv (aX:aY:aZ:0)}$,

de modo que las coordenadas ( X : Y : Z :0) puedan normalizarse , reduciendo así los grados de libertad a dos (es decir, una superficie, concretamente un plano proyectivo).

Proposición : Cualquier línea que pase por el origen (0:0:0:1) y por un punto ( X : Y : Z :1) intersecará el plano en el infinito en el punto ( X : Y : Z :0).

Demostración : Una línea que pasa por los puntos (0:0:0:1) y ( X : Y : Z :1) estará formada por puntos que son combinaciones lineales de los dos puntos dados:

${\displaystyle a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).}$

Para que tal punto se encuentre en el plano en el infinito debemos tener,${\displaystyle a+b=0}$. Entonces, al elegir${\displaystyle a=-b}$, obtenemos el punto ${\displaystyle (bX:bY:bZ:0)=(X:Y:Z:0)}$, según sea necesario. QED

Cualquier par de líneas paralelas en el espacio tridimensional se interseca en un punto del plano en el infinito. Además, cada línea en el espacio tridimensional interseca el plano en el infinito en un único punto. Este punto está determinado únicamente por la dirección de la línea. Para determinar este punto, consideremos una línea paralela a la línea dada, que pase por el origen, si no lo hace ya. Luego, elijamos cualquier punto, distinto del origen, sobre esta segunda línea. Si las coordenadas homogéneas de este punto son ( X : Y : Z :1), entonces las coordenadas homogéneas del punto en el infinito por donde pasan ambas líneas son ( X : Y : Z :0).

Ejemplo : Consideremos una recta que pasa por los puntos (0:0:1:1) y (3:0:1:1). Una recta paralela pasa por los puntos (0:0:0:1) y (3:0:0:1). Esta segunda recta interseca el plano en el infinito en el punto (3:0:0:0). Pero la primera recta también pasa por este punto:

${\displaystyle \lambda (3:0:1:1)+\mu (0:0:1:1)}$

${\displaystyle =(3\lambda :0:\lambda +\mu$ :\lambda +\mu )}

${\displaystyle =(3:0:0:0)}$

cuando${\displaystyle \lambda +\mu =0}$. ■

Cualquier par de planos paralelos en el espacio afín tridimensional se intersecarán mediante una línea proyectiva (una línea en el infinito ) en el plano del infinito. Además, cada plano en el espacio afín tridimensional interseca el plano del infinito mediante una única línea. ^{[ 3 ]} Esta línea está determinada por la dirección —y solo por la dirección— del plano.

Dado que el plano en el infinito es un plano proyectivo, es homeomorfo a la superficie de una "esfera módulo antípodas", es decir, una esfera en la que los puntos antípodas son equivalentes: S ² /{1, −1} donde el cociente se entiende como un cociente por una acción de grupo (véase espacio cociente ).

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