Paralelo (geometría)

Dadas dos líneas rectas paralelas l y m en el espacio euclidiano , las siguientes propiedades son equivalentes:

1. Cada punto en la línea m está ubicado exactamente a la misma distancia (mínima) de la línea l ( líneas equidistantes ).
2. La línea m está en el mismo plano que la línea l, pero no la interseca ( recordemos que las líneas se extienden hasta el infinito en cualquier dirección).
3. Cuando las líneas m y l son intersectadas por una tercera línea recta (una transversal ) en el mismo plano, los ángulos de intersección correspondientes con la transversal son congruentes .

Dado que estas propiedades son equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como la definición de líneas paralelas en el espacio euclidiano, pero la primera y la tercera propiedades implican medición y, por lo tanto, son "más complicadas" que la segunda. Así, la segunda propiedad es la que se suele elegir como la propiedad definitoria de las líneas paralelas en la geometría euclidiana. ^{[ 6 ]} Las demás propiedades son entonces consecuencias del Postulado de las Paralelas de Euclides .

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se cruzan aparece como la Definición 23 en el Libro I de los Elementos de Euclides . ^{[ 7 ]} Otros griegos discutieron definiciones alternativas, a menudo como parte de un intento de demostrar el postulado de las paralelas . Proclo atribuye a Posidonio una definición de líneas paralelas como líneas equidistantes y cita a Gemino en un sentido similar. Simplicio también menciona la definición de Posidonio, así como su modificación por el filósofo Aganis. ^{[ 7 ]}

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, los Elementos de Euclides seguían siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría se veía presionado a cambiar por los nuevos desarrollos en geometría proyectiva y no euclidiana , por lo que en ese momento se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre sí como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las líneas paralelas. ^{[ 8 ]} Estos textos de reforma no estuvieron exentos de críticas, y uno de ellos, Charles Dodgson (también conocido como Lewis Carroll ), escribió una obra de teatro, Euclides y sus rivales modernos , en la que se critican duramente estos textos. ^{[ 9 ]}

Uno de los primeros libros de texto de reforma fue Geometría elemental de James Maurice Wilson de 1868. ^{[ 10 ]} Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección . Según Wilhelm Killing ^{[ 11 ]} la idea puede rastrearse hasta Leibniz . ^{[ 12 ]} Wilson, sin definir la dirección por ser un concepto primitivo, usa el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos líneas rectas que se encuentran tienen direcciones diferentes, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellas." Wilson (1868 , p. 2) En la definición 15 introduce las líneas paralelas de esta manera: "Las líneas rectas que tienen la misma dirección , pero no son partes de la misma línea recta, se llaman líneas paralelas ." Wilson (1868 , p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson la usó para demostrar cosas sobre líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran parte de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento que Wilson da a los paralelismos. Wilson eliminó este concepto de la tercera edición y posteriores de su texto. ^{[ 13 ]}

Otras propiedades, propuestas por otros reformadores, utilizadas como sustitutos de la definición de líneas paralelas, no tuvieron mejor suerte. La principal dificultad, como señaló Dodgson, era que su uso requería la adición de axiomas al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874, Geometría euclidiana, adolece del problema de que los puntos que se encuentran a una distancia fija dada a un lado de una línea recta deben demostrarse que forman una línea recta. Esto no se puede probar y debe asumirse como cierto. ^{[ 14 ]} La propiedad de ángulos correspondientes formados por una transversal, utilizada por W. D. Cooley en su texto de 1860, Elementos de geometría, simplificada y explicada, requiere una demostración del hecho de que si una transversal interseca un par de líneas en ángulos correspondientes congruentes, entonces todas las transversales deben hacerlo. Nuevamente, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Las tres propiedades anteriores conducen a tres métodos diferentes de construcción ^{[ 15 ]} de líneas paralelas.

• 
  Propiedad 1: La línea m tiene en todos sus puntos la misma distancia a la línea l .
• 
  Propiedad 2: Toma una línea aleatoria que pase por a e interseque l en x . Mueve el punto x al infinito.
• 
  Propiedad 3: Tanto l como m comparten una línea transversal que pasa por a y las interseca en un ángulo de 90°.

Debido a que las líneas paralelas en un plano euclidiano son equidistantes , existe una distancia única entre las dos líneas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos líneas paralelas no verticales ni horizontales,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

La distancia entre las dos rectas se puede hallar localizando dos puntos (uno en cada recta) que se encuentren sobre una perpendicular común a las rectas paralelas y calculando la distancia entre ellos. Dado que las rectas tienen pendiente m , una perpendicular común tendría pendiente −1/ m y podemos tomar la recta con ecuación y = −x / m como perpendicular común. Resuelva los sistemas lineales.

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

para obtener las coordenadas de los puntos. Las soluciones de los sistemas lineales son los puntos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

y

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

Estas fórmulas siguen proporcionando las coordenadas correctas de los puntos incluso si las líneas paralelas son horizontales (es decir, m = 0). La distancia entre los puntos es

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

lo cual se reduce a

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Cuando las líneas vienen dadas por la forma general de la ecuación de una línea (se incluyen líneas horizontales y verticales):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

Su distancia se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$