Lápiz (geometría)

En geometría , un lápiz es una familia de objetos geométricos con una propiedad común, por ejemplo, el conjunto de líneas que pasan por un punto dado en un plano , o el conjunto de círculos que pasan por dos puntos dados en un plano.

Aunque la definición de lápiz es bastante vaga, la característica común es que se define por un parámetro cuyo valor puede determinarse a partir de dos cualesquiera de sus miembros. Para enfatizar la naturaleza bidimensional de dicho lápiz, a veces se le denomina lápiz plano . ^{[ 1 ]}

Cualquier objeto geométrico puede usarse en un lápiz. Los más comunes son líneas, planos, círculos, cónicas, esferas y curvas generales. Incluso se pueden usar puntos. Un lápiz de puntos es el conjunto de todos los puntos en una línea dada. ^{[ 2 ]} Un término más común para este conjunto es rango de puntos.

En un avión , deja${\displaystyle \ell }$y${\displaystyle \ell '}$Sean dos líneas distintas que se intersecan. Para mayor concreción, supongamos que${\displaystyle \ell }$tiene la ecuación,${\displaystyle aX+bY+c=0}$y${\displaystyle \ell '}$tiene la ecuación${\displaystyle a'X+b'Y+c'=0}$. Entonces $${\displaystyle \lambda \ell +\mu \ell '=0,}$$ representa, para escalares adecuados${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$, cualquier línea que pase por la intersección de${\displaystyle \ell =0}$y${\displaystyle \ell '=0}$. Este conjunto de líneas que pasan por un punto común se llama haz de líneas . ^{[ 3 ]} El punto común de un haz de líneas se llama vértice del haz.

En un plano afín con la variante reflexiva del paralelismo , un conjunto de líneas paralelas forma una clase de equivalencia llamada haz de líneas paralelas . ^{[ 4 ]} Esta terminología es consistente con la definición anterior ya que en la extensión proyectiva única del plano afín a un plano proyectivo se agrega un solo punto ( punto en el infinito ) a cada línea en el haz de líneas paralelas, convirtiéndolo así en un haz en el sentido anterior en el plano proyectivo.

Un haz de semirrectas , también llamado semilápiz , es el conjunto de semirrectas que comparten un vértice común. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Se utiliza en óptica como modelo para haces de luz puntuales .

Un haz de planos es el conjunto de planos que pasan por una línea recta dada en el espacio tridimensional, llamado eje del haz. A veces se le denomina haz axial ^{[ 7 ]} , abanico de planos o haz de planos ^{[ 8 ]} . Por ejemplo, los meridianos del globo están definidos por el haz de planos sobre el eje de rotación de la Tierra.

Dos planos que se intersecan se encuentran en una línea en el espacio tridimensional y, por lo tanto, determinan el eje y, por consiguiente, todos los planos del lápiz.

El espacio de cuatro dimensiones de los cuaterniones${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$puede verse como un haz axial de planos complejos que comparten la misma línea real. De hecho, los cuaterniones contienen una esfera de unidades imaginarias , es decir,${\displaystyle \{b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |(b,c,d)\in S^{2}\}}$Un par de puntos antipodales en esta esfera, junto con el eje real, generan un plano complejo. La unión de todos estos planos complejos constituye el álgebra de cuatro dimensiones de los cuaterniones.

Cualquier par de círculos en el plano tiene un eje radical , que es la línea formada por todos los puntos que tienen la misma potencia con respecto a los dos círculos. Un haz de círculos (o sistema coaxial ) es el conjunto de todos los círculos en el plano con el mismo eje radical. ^{[ 9 ]} Para ser inclusivos, se dice que los círculos concéntricos tienen como eje radical la línea en el infinito .

Existen cinco tipos de haces de círculos, ^{[ 10 ]} las dos familias de círculos apolíneos en la ilustración anterior representan dos de ellos. Cada tipo está determinado por dos círculos llamados generadores del haz. Al describirlos algebraicamente, es posible que las ecuaciones admitan soluciones imaginarias. Los tipos son:

• Un haz elíptico (la familia de círculos rojos en la figura) se define por dos generatrices que se intersecan en exactamente dos puntos. Cada círculo de un haz elíptico pasa por esos mismos dos puntos. Un haz elíptico no incluye ningún círculo imaginario.
• Un haz hiperbólico (la familia de círculos azules en la figura) se define por dos generatrices que no se intersecan en ningún punto. Incluye círculos reales, círculos imaginarios y dos círculos degenerados llamados puntos Poncelet del haz. Cada punto en el plano pertenece a exactamente un círculo del haz.
• Un haz parabólico (como caso límite) se define como aquel en el que dos círculos generadores son tangentes entre sí en un único punto. Consiste en una familia de círculos reales, todos tangentes entre sí en un punto común. El círculo degenerado con radio cero en ese punto también pertenece a dicho haz.
• Una familia de círculos concéntricos centrados en un punto común (puede considerarse un caso especial de un haz hiperbólico donde el otro punto es el punto en el infinito).
• La familia de líneas rectas que pasan por un punto común; estas deben interpretarse como círculos que pasan todos por el punto en el infinito (puede considerarse un caso especial de un haz elíptico). ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Cardioide como envoltura de un lápiz de círculos

Otro tipo de haz de círculos se puede obtener de la siguiente manera. Consideremos un círculo dado (llamado círculo generador ) y un punto P distinguido en el círculo generador. El conjunto de todos los círculos que pasan por P y tienen su centro en el círculo generador forman un haz de círculos. La envoltura de este haz es una cardioide .

Una esfera está determinada unívocamente por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada unívocamente por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. ^{[ 15 ]} Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada unívocamente por (es decir, pasa por) un círculo y un punto que no se encuentra en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede observar que dos esferas se intersecan en un círculo, y el plano que contiene dicho círculo se denomina plano radical de las esferas que se intersecan. ^{[ 16 ]} Si bien el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen ningún punto real en común) o consistir en un único punto (las esferas son tangentes en ese punto). ^{[ 17 ]}

Si${\displaystyle f(x,y,z)=0}$y${\displaystyle g(x,y,z)=0}$son las ecuaciones de dos esferas distintas entonces $${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$$ También es la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros.${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se denomina haz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, una esfera puede ser un plano (radio infinito, centro en el infinito) y, si ambas esferas originales son planos, entonces todas las esferas del haz son planos; de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en el haz. ^{[ 18 ]}

Si el haz de esferas no está formado por todos los planos, entonces hay tres tipos de haces: ^{[ 17 ]}

• Si las esferas se intersecan en un círculo real C , entonces el haz está formado por todas las esferas que contienen a C , incluyendo el plano radical. Los centros de todas las esferas ordinarias del haz se encuentran sobre una línea que pasa por el centro de C y es perpendicular al plano radical.
• Si las esferas se intersecan en un círculo imaginario, todas las esferas del haz también pasan por dicho círculo imaginario, pero, como esferas ordinarias, son disjuntas (no tienen puntos reales en común). La línea que une los centros es perpendicular al plano radical, que es un plano real en el haz que contiene el círculo imaginario.
• Si las esferas se intersecan en un punto A , todas las esferas del haz son tangentes en A y el plano radical es el plano tangente común de todas estas esferas. La línea de centros es perpendicular al plano radical en A.

Todas las líneas tangentes desde un punto fijo del plano radical a las esferas de un lápiz tienen la misma longitud. ^{[ 17 ]}

El plano radical es el lugar geométrico de los centros de todas las esferas que son ortogonales a todas las esferas de un haz. Además, una esfera ortogonal a cualesquiera dos esferas de un haz de esferas es ortogonal a todas ellas y su centro se encuentra en el plano radical del haz. ^{[ 17 ]}

Una cónica (no degenerada) está completamente determinada por cinco puntos en posición general (sin que tres sean colineales) en un plano, y el sistema de cónicas que pasan por un conjunto fijo de cuatro puntos (también en un plano y sin que tres sean colineales) se denomina haz de cónicas . ^{[ 19 ]} Los cuatro puntos comunes se denominan puntos base del haz. Por cualquier punto que no sea un punto base, pasa una única cónica del haz. Este concepto generaliza el de haz de círculos.

En un plano proyectivo definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, dos cónicas cualesquiera se intersecan en cuatro puntos (contados con multiplicidad) y, por lo tanto, determinan el haz de cónicas basado en estos cuatro puntos. Además, los cuatro puntos base determinan tres pares de rectas ( cónicas degeneradas que pasan por los puntos base, cada recta del par contiene exactamente dos puntos base) y, por lo tanto, cada haz de cónicas contendrá como máximo tres cónicas degeneradas. ^{[ 20 ]}

Un haz de cónicas se puede representar algebraicamente de la siguiente manera. Sea${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$Sean dos cónicas distintas en un plano proyectivo definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.${\displaystyle K}$. Por cada par${\displaystyle (\lambda,\mu)}$de elementos de${\displaystyle K}$, no ambos cero, la expresión: $${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$$ representa una cónica en el lápiz determinado por${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$Esta representación simbólica puede concretarse con un ligero abuso de la notación (utilizando la misma notación para denotar tanto el objeto como la ecuación que lo define). Pensando en${\displaystyle C_{1}}$, digamos, como una forma cuadrática ternaria , entonces${\displaystyle C_{1}=0}$es la ecuación de la "cónica"${\displaystyle C_{1}}$". Otra realización concreta se obtendría pensando en${\displaystyle C_{1}}$como la matriz simétrica de 3×3 que la representa. Si${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$Si todos los miembros del grupo mencionado anteriormente tienen realizaciones tan concretas, también las tendrán. Dado que el sistema utiliza coordenadas homogéneas en un plano proyectivo, dos representaciones concretas (ya sean ecuaciones o matrices) dan como resultado la misma cónica si difieren en una constante multiplicativa distinta de cero.

En términos más generales, un haz es un caso especial de un sistema lineal de divisores en el que el espacio de parámetros es una línea proyectiva . Los haces típicos de curvas en el plano proyectivo , por ejemplo, se escriben como $${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0}$$

dónde${\displaystyle C=0}$,${\displaystyle C'=0}$son curvas planas.

Se le atribuye a Girard Desargues la invención del término "lápiz de líneas" ( ordonnance de lignes ). ^{[ 21 ]}

Un autor temprano de la geometría proyectiva moderna, GB Halsted, introdujo los términos copunctal y lápiz plano para definir ángulo : "Las rectas con la misma cruz son copunctales". También "El conjunto de todas las rectas coplanares y copunctales se llama lápiz plano " y "Un segmento de un lápiz plano delimitado por dos de las rectas como lados se llama ángulo ". ^{[ 22 ]}

• Ajuste de paquetes
• Lápiz Lefschetz
• Lápiz Matrix
• Rayo de lápiz
• Fibración
• Lugar

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• Johnson, Roger A. (2007) [1929], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
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• Weisstein, Eric W. , "Lápiz" , MathWorld