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Articulo de referencia

Lápiz Matrix

En álgebra lineal , un haz matricial es una función matricial definida en un campo. K {\displaystyle K} , generalmente los números reales o complejos . Definición Dejar K {\disp...

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En álgebra lineal , un haz matricial es una función matricial definida en un campo.K{\displaystyle K}, generalmente los números reales o complejos .

Definición

DejarK{\displaystyle K}ser un campo (típicamente,K∈{R,do}{\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}; la definición puede generalizarse a rngs , es decir, anillos no unitarios), y seanorte>0{\displaystyle n>0}sea ​​un entero positivo. Entonces cualquier función con valores matriciales

PAG:K→METROat(K,norte×norte){\displaystyle P\colon K\to \mathrm {Mat} (K,n\times n)}

(dóndeMETROat(K,norte×norte){\displaystyle \mathrm {Mat} (K,n\times n)}denota elK{\displaystyle K}-álgebra denorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices sobreK{\displaystyle K}) se denomina lápiz matricial.

Lápices de matrices polinómicas

Surge un caso especial importante cuandoPAG{\displaystyle P}es polinomial : seaℓ≥0{\displaystyle \ell \geq 0}Sea un número entero no negativo, y seaA0,A1,…,Aℓ{\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell }}sernorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices (es decirAi∈METROat(K,norte×norte){\displaystyle A_{i}\in \mathrm {Mat} (K,n\times n)}a pesar dei=0,…,ℓ{\displaystyle i=0,\dots ,\ell }). Luego, el haz de matrices polinómicas (a menudo simplemente un haz de matrices ) definido porA0,…,Aℓ{\displaystyle A_{0},\dots ,A_{\ell }}es la función con valores matricialesL:K→METROat(K,norte×norte){\displaystyle L\colon K\to \mathrm {Mat} (K,n\times n)}definido por

L(λ)=∑i=0ℓλiAi.{\displaystyle L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.}

El grado de este haz de matrices se define como el mayor entero0≤k≤ℓ{\displaystyle 0\leq k\leq \ell }de tal manera queAk≠0{\displaystyle A_{k}\neq 0}, elnorte×norte{\displaystyle n\times n}matriz cero sobreK{\displaystyle K}.

Lápices de matriz lineal

Un caso particular es un haz de matrices linealesL(λ)=A−λB{\displaystyle L(\lambda )=A-\lambda B}(dóndeB≠0{\displaystyle B\neq 0}). [ 1 ] Lo denotamos brevemente con la notación(A,B){\displaystyle (A,B)}y tenga en cuenta que, utilizando la notación más general,A0=A{\displaystyle A_{0}=A}yA1=−B{\displaystyle A_{1}=-B}(noB{\displaystyle B}).

Autovalores generalizados de haces de matrices

Para un lápiz matricialPAG{\displaystyle P}, cualquierk∈K{\displaystyle k\in K}de tal manera quedetPAG(k)=0K{\displaystyle \det P(k)=0_ {K}}se denomina valor propio generalizado (a menudo simplemente valor propio ) dePAG{\displaystyle P}y el conjunto de autovalores generalizados dePAG{\displaystyle P}se denomina su espectro y se denota por

σ(PAG)={k∈K:detPAG(k)=0K}.{\displaystyle \sigma (P)=\{k\in K:\det P(k)=0_{K}\}.}

Para un haz de matrices polinómicas, escribimos:σ(A0,…,Aℓ){\displaystyle \sigma (A_{0},\dots ,A_{\ell })}; para el lápiz lineal(A,B){\displaystyle (A,B)}, escribimos comoσ(A,B){\displaystyle \sigma (A,B)}(noσ(A,−B){\displaystyle \sigma (A,-B)}).

Los autovalores generalizados del haz de matrices lineales(A,I){\displaystyle (A,I)}son precisamente los valores propios de la matriz deA{\displaystyle A}El lápiz lineal general(A,B){\displaystyle (A,B)}Se dice que tiene uno o más valores propios en el infinito siB{\displaystyle B}tiene uno o más valores propios de 0.

Un lápiz se llama regular si tiene al menos unok∈K{\displaystyle k\in K}de tal manera quedetPAG(k)≠0K{\displaystyle \det P(k)\neq 0_ {K}}, es decir, siλ(PAG)≠K{\displaystyle \lambda (P)\neq K}; de lo contrario se llama singular.

Aplicaciones

Los haces de matrices desempeñan un papel importante en el álgebra lineal numérica . El problema de encontrar los autovalores generalizados de un haz se denomina problema generalizado de autovalores . El algoritmo más popular para esta tarea es el algoritmo QZ , una versión implícita del algoritmo QR para resolver el problema de autovalores.Aincógnita=λBincógnita{\displaystyle Ax=\lambda Bx}sin invertir la matrizB{\displaystyle B}(lo cual es imposible cuandoB{\displaystyle B}es singular o numéricamente inestable cuando está mal condicionado ).

Lápices generados mediante matrices conmutativas

SiAB=BA{\displaystyle AB=BA}, luego el lápiz generado porA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}: [ 2 ]

  1. consta únicamente de matrices similares a una matriz diagonal , o
  2. no contiene matrices similares a una matriz diagonal, o
  3. contiene exactamente una matriz similar a una matriz diagonal.

Véase también

Notas

Referencias