Descomposición en valores propios de una matriz

El​${\displaystyle 2\times 2}$matriz real

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}}$$

puede diagonalizarse como${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {Q} }$, donde​${\displaystyle \mathbf {Q} }$es una matriz no singular que debe determinarse:

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$$

para obtener algunos números reales${\displaystyle x}$y​${\displaystyle y}$.​

Multiplicando ambos lados de la ecuación de la izquierda por${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠ ,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$$

La ecuación anterior se puede descomponer en dos ecuaciones simultáneas :

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

Factorización de los valores propios${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$⁠ ,

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

Alquiler

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}}$$

nos da un sistema de dos ecuaciones vectoriales:

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {A} \mathbf {a} =x\mathbf {a} \\\mathbf {A} \mathbf {b} =y\mathbf {b} .\end{cases}}}$$

Esto se puede representar mediante una única ecuación vectorial que involucra dos soluciones como valores propios:

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,}$$

donde​${\displaystyle \lambda }$⁠ representa cualquiera de los valores propios, ⁠${\displaystyle x}$o​​${\displaystyle y}$y​​${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠ representa el vector propio correspondiente, ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$o​​${\displaystyle \mathbf {b} }$.​

Cambio​${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$⁠ al lado izquierdo y factorizando ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$fuera ,

$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$

Desde​${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠ es no singular, es esencial que ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$es distinto de cero. Por lo tanto,

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$$

De este modo

$${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0,}$$

dándonos las soluciones de los valores propios para la matriz ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$como​​${\displaystyle \lambda =1}$o​​${\displaystyle \lambda =3}$⁠ . La matriz diagonal resultante de la descomposición en valores propios de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ es así ⁠${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$.​

Sustituyendo las soluciones en el sistema de ecuaciones anterior,

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

Resolviendo las ecuaciones, tenemos

$${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

Por lo tanto , la matriz${\displaystyle \mathbf {Q} }$requerido para la descomposición en valores propios de${\displaystyle \mathbf {A} }$es​

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

Finalmente, la diagonalización de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$es :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

En este ejemplo ,${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$y​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$Los autovectores asociados a autovalores distintos no pueden ser ortogonales entre sí. En efecto:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =0&\iff -2c\!\times \!0+cd=0\\&\iff c=0\quad {\text{or}}\quad d=0\\&\iff \mathbf {u} _{1}=0\quad {\text{or}}\quad \mathbf {u} _{2}=0,\end{aligned}}}$$

lo que haría${\displaystyle \mathbf {Q} }$singular .

Si una matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ se puede descomponer en valores propios y si ninguno de sus valores propios es cero, entonces ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$es invertible ysu inversa viene dada por

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz simétrica, ya que${\displaystyle \mathbf {Q} }$se forma a partir de los autovectores de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$, entonces${\displaystyle \mathbf {Q} }$Se garantiza que es una matriz ortogonal ; por lo tanto${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$⁠ . Además, porque ⁠${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$es una matriz diagonal , su inversa es fácil de calcular:

$${\displaystyle \left[\mathbf {\Lambda } ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\exp \mathbf {A} &=\mathbf {Q} \exp(\mathbf {\Lambda } )\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$$ que son ejemplos de las funciones${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$. Además,${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$es la exponencial de la matriz .

Una matriz cuadrada de valores complejos${\displaystyle A}$es normal (es decir${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$, donde${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$es la transpuesta conjugada de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$) si y solo si se puede descomponer como${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$, donde${\displaystyle \mathbf {U} }$es una matriz unitaria (es decir ,${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}}$) y${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$es una matriz diagonal . ^{[ 7 ]} Las columnas${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$de${\displaystyle \mathbf {U} }$forman una base ortonormal y son autovectores de${\displaystyle \mathbf {A} }$con los autovalores correspondientes${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$⁠ . ^{[ 8 ]}

Por ejemplo, considere el ⁠${\displaystyle 2\times 2}$matriz normal​${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}$.​

Los valores propios son${\displaystyle \lambda _{1}=3}$y​​${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$.​

Los posibles vectores propios normalizados correspondientes a estos valores propios son :${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$y​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}$.​

La factorización es${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$, donde

⁠${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$,​​${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$y​​${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$.​

La verificación es${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}=\mathbf {A} }$.​

Este ejemplo ilustra el proceso de diagonalización de una matriz normal.${\displaystyle \mathbf {A} }$hallando sus autovalores y autovectores, formando la matriz unitaria${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ , la matriz diagonal ⁠${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$y verificando la descomposición.

Como caso especial, para cada${\displaystyle n\times n}$Matriz simétrica real , los valores propios son reales y los vectores propios pueden ser elegidos reales y ortonormales . Por lo tanto ,una matriz simétrica real${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ se puede descomponer como ⁠${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$, donde​${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠ es una matriz ortogonal cuyas columnas son los autovectores reales y ortonormales de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$y​​${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ . ^{[ 9 ]}

Las matrices diagonalizables se pueden descomponer utilizando la descomposición en valores propios, siempre que tengan un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes. Se pueden expresar como :${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$, donde${\displaystyle \mathbf {P} }$es una matriz cuyas columnas son vectores propios de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$y​${\displaystyle \mathbf {D} }$es una matriz diagonal que consta de los valores propios correspondientes de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ . ^{[ 8 ]}

Las matrices definidas positivas son matrices cuyos valores propios son todos positivos. Se pueden descomponer como:${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{\mathsf {T}}}$utilizando la descomposición de Cholesky , donde${\displaystyle \mathbf {L} }$es una matriz triangular inferior. ^{[ 10 ]}

Las matrices ortogonales satisfacen${\displaystyle \mathbf {Q} \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} }$(caso real) y las matrices unitarias satisfacen${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {I} }$(caso complejo), donde${\displaystyle \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$denota la transpuesta de${\displaystyle \mathbf {Q} }$y${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }}$denota la transpuesta conjugada de ⁠${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ . Diagonalizan usando transformaciones unitarias . ^{[ 8 ]}

Las matrices hermíticas satisfacen${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} ^{\dagger }}$, donde${\displaystyle \mathbf {H} ^{\dagger }}$denota la transpuesta conjugada de ⁠${\displaystyle \mathbf {H} }$⁠ . Se pueden diagonalizar utilizando matrices unitarias u ortogonales. ^{[ 8 ]}

• El producto de los autovalores es igual al determinante de A :$${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} \right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}\lambda _{i}^{n_{i}}.}$$Nótese que cada valor propio se eleva a la potencia n _i , su multiplicidad algebraica .
• La suma de los autovalores es igual a la traza de A :$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}n_{i}\lambda _{i}.}$$Nótese que cada valor propio se multiplica por n _i , su multiplicidad algebraica.
• Si los valores propios de A son λ _i , y A es invertible, entonces los valores propios de A ⁻¹ son simplemente λ ⁻¹ _i .
• Si los valores propios de A son λ _i , entonces los valores propios de f ( A ) son simplemente f ( λ _i ) , para cualquier función holomorfa f y cualquier A para la cual f ( A ) esté bien definida.

• Si A es una matriz hermitiana y tiene rango completo, entonces la base de vectores propios puede elegirse de manera que sean mutuamente ortogonales . Los valores propios son reales.
• Los autovectores de A ⁻¹ son los mismos que los autovectores de A .
• Los autovectores solo están definidos salvo una constante multiplicativa. Es decir, si Av = λ v , entonces c v también es un autovector para cualquier escalar c ≠ 0 . En particular, − v y e ^iθ v (para cualquier θ ) también son autovectores.
• En el caso de un valor propio degenerado (un valor propio que tiene más de un vector propio), los vectores propios tienen una libertad adicional de transformación lineal; es decir, cualquier combinación lineal (ortonormal) de vectores propios que compartan este valor propio (en el subespacio degenerado) es en sí misma un vector propio (en este subespacio).

• A puede descomponerse en valores propios si y solo si el número de vectores propios linealmente independientes, N _v , es igual a la dimensión de un vector propio: N _v = N .
• Si el campo de escalares es algebraicamente cerrado y si p ( λ ) no tiene raíces repetidas, es decir, si${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$Entonces A puede descomponerse en valores propios.
• La afirmación " A puede descomponerse en valores propios" no implica que A tenga una inversa, ya que algunos valores propios pueden ser cero, lo que hace que A no sea invertible.
• La afirmación " A tiene un inverso" no implica que A pueda descomponerse en valores propios. Un contraejemplo es${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$, que es una matriz defectuosa invertible .

• A puede invertirse si y solo si todos sus valores propios son distintos de cero:$${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i.}$$
• Si λ _i ≠ 0 y N _v = N , la inversa viene dada por$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

Supongamos que queremos calcular los autovalores de una matriz dada. Si la matriz es pequeña, podemos calcularlos simbólicamente usando el polinomio característico . Sin embargo, esto suele ser imposible para matrices más grandes, en cuyo caso debemos usar un método numérico .

En la práctica, los autovalores de matrices grandes no se calculan utilizando el polinomio característico. El cálculo del polinomio resulta costoso en sí mismo, y las raíces exactas (simbólicas) de un polinomio de alto grado pueden ser difíciles de calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de polinomios de alto grado (5 o superior) no pueden, en general, expresarse simplemente utilizando raíces n- ésimas. Por lo tanto, los algoritmos generales para encontrar autovectores y autovalores son iterativos .

Existen algoritmos numéricos iterativos para aproximar las raíces de polinomios, como el método de Newton , pero en general resulta poco práctico calcular el polinomio característico y luego aplicar estos métodos. Una razón es que pequeños errores de redondeo en los coeficientes del polinomio característico pueden generar grandes errores en los autovalores y autovectores: las raíces son una función extremadamente mal condicionada de los coeficientes. ^{[ 11 ]}

Un método iterativo simple y preciso es el método de potencia : se elige un vector aleatorio v y se calcula una secuencia de vectores unitarios como$${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$$

Esta secuencia casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al valor propio de mayor magnitud, siempre que v tenga un componente no nulo de este vector propio en la base de vectores propios (y siempre que solo haya un valor propio de mayor magnitud). Este sencillo algoritmo es útil en algunas aplicaciones prácticas; por ejemplo, Google lo utiliza para calcular el PageRank de los documentos en su motor de búsqueda. ^{[ 12 ]} Además, el método de potencia es el punto de partida para muchos algoritmos más sofisticados. Por ejemplo, al conservar no solo el último vector de la secuencia, sino también al considerar el espacio generado por todos los vectores de la secuencia, se puede obtener una mejor aproximación (de convergencia más rápida) para el vector propio, y esta idea es la base de la iteración de Arnoldi . ^{[ 11 ]} Alternativamente, el importante algoritmo QR también se basa en una sutil transformación de un método de potencia. ^{[ 11 ]}

Una vez calculados los valores propios, los vectores propios podrían calcularse resolviendo la ecuación. $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} _{i,j}=\mathbf {0} }$$ utilizando la eliminación gaussiana o cualquier otro método para resolver ecuaciones matriciales .

Sin embargo, en los métodos prácticos de valores propios a gran escala, los vectores propios se suelen calcular de otras maneras, como un subproducto del cálculo de los valores propios. En la iteración de potencias , por ejemplo, el vector propio se calcula antes que el valor propio (que normalmente se calcula mediante el cociente de Rayleigh del vector propio). ^{[ 11 ]} En el algoritmo QR para una matriz hermitiana (o cualquier matriz normal), los vectores propios ortonormales se obtienen como un producto de las matrices Q de los pasos del algoritmo. ^{[ 11 ]} (Para matrices más generales, el algoritmo QR produce primero la descomposición de Schur , a partir de la cual se pueden obtener los vectores propios mediante un procedimiento de sustitución hacia atrás . ^{[ 13 ]} ) Para matrices hermitianas, el algoritmo de valores propios de divide y vencerás es más eficiente que el algoritmo QR si se desean tanto vectores propios como valores propios. ^{[ 11 ]}

Recordemos que la multiplicidad geométrica de un valor propio puede describirse como la dimensión del espacio propio asociado, el espacio nulo de ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ . La multiplicidad algebraica también puede pensarse como una dimensión: es la dimensión del espacio propio generalizado asociado (en el primer sentido), que es el espacio nulo de la matriz ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)^{k}}$para cualquier suficientemente grande${\displaystyle k}$⁠ . Es decir, es el espacio de autovectores generalizados (en el primer sentido), donde un autovector generalizado es cualquier vector que eventualmente se convierte en ⁠${\displaystyle 0}$si​​${\displaystyle A-\lambda I}$Se le aplica suficientes veces sucesivamente. Cualquier vector propio es un vector propio generalizado, por lo que cada espacio propio está contenido en el espacio propio generalizado asociado. Esto proporciona una prueba sencilla de que la multiplicidad geométrica siempre es menor o igual que la multiplicidad algebraica.

Este uso no debe confundirse con el problema generalizado de valores propios que se describe a continuación.

Un vector propio conjugado o vector propio cónico es un vector que, tras una transformación, se convierte en un múltiplo escalar de su conjugado, donde el escalar se denomina valor propio conjugado o valor propio cónico de la transformación lineal. Los vectores propios cónicos y los valores propios cónicos representan esencialmente la misma información y significado que los vectores propios y valores propios regulares, pero surgen cuando se utiliza un sistema de coordenadas alternativo. La ecuación correspondiente es $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$$ Por ejemplo, en la teoría de dispersión electromagnética coherente, la transformación lineal A representa la acción realizada por el objeto dispersor, y los autovectores representan los estados de polarización de la onda electromagnética. En óptica , el sistema de coordenadas se define desde el punto de vista de la onda, conocido como alineación de dispersión frontal (FSA), y da lugar a una ecuación de autovalores regular, mientras que en radar , el sistema de coordenadas se define desde el punto de vista del radar, conocido como alineación de retrodispersión (BSA), y da lugar a una ecuación de autovalores de cono.

Un problema generalizado de valores propios (en segundo sentido) es el problema de encontrar un vector v (distinto de cero) que cumpla con $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$$ donde A y B son matrices. Si v satisface esta ecuación, con algún λ , entonces llamamos a v el vector propio generalizado de A y B (en el segundo sentido), y λ se llama el valor propio generalizado de A y B (en el segundo sentido) que corresponde al vector propio generalizado v . Los posibles valores de λ deben satisfacer la siguiente ecuación. $${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$$

Si se pueden encontrar n vectores linealmente independientes { v ₁ , …, v _n } , tales que para cada i ∈ {1, …, n } , Av _i = λ _i Bv _i , entonces definimos las matrices P y D de tal manera que $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ Entonces se cumple la siguiente igualdad. $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$$ Y la prueba es $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$$

Y como P es invertible, multiplicamos la ecuación de la derecha por su inversa, finalizando así la demostración.

El conjunto de matrices de la forma A − λ B , donde λ es un número complejo , se denomina lápiz de matrices ; el término lápiz de matrices también puede referirse al par ( A , B ) de matrices. ^{[ 14 ]}

Si B es invertible, entonces el problema original se puede escribir de la forma $${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ Se trata de un problema estándar de valores propios. Sin embargo, en la mayoría de los casos es preferible no realizar la inversión, sino resolver el problema generalizado de valores propios tal como se planteó originalmente. Esto es especialmente importante si A y B son matrices hermíticas , ya que en este caso B ⁻¹ A no suele ser hermítica y las propiedades importantes de la solución dejan de ser evidentes.

Si A y B son ambas simétricas o hermíticas, y B es también una matriz definida positiva , los valores propios λ _i son reales y los vectores propios v ₁ y v ₂ con valores propios distintos son B -ortogonales ( v ₁ ^* Bv ₂ = 0 ). ^{[ 15 ]} En este caso, los vectores propios se pueden elegir de modo que la matriz P definida anteriormente satisfaga $${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {I} }$$ o $${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {I} ,}$$ y existe una base de autovectores generalizados (no es un problema defectuoso ). ^{[ 14 ]} Este caso a veces se denomina haz definido hermitiano o haz definido . ^{[ 14 ]}