vector propio generalizado

Este ejemplo es simple pero ilustra claramente el punto. Este tipo de matriz se usa con frecuencia en los libros de texto. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} Supongamos

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Entonces solo hay un valor propio,${\displaystyle \lambda =1}$y su multiplicidad algebraica es${\displaystyle m=2}$.

Nótese que esta matriz está en forma normal de Jordan pero no es diagonal . Por lo tanto, esta matriz no es diagonalizable. Dado que hay una entrada superdiagonal , habrá un vector propio generalizado de rango mayor que 1 (o se podría notar que el espacio vectorial${\displaystyle V}$es de dimensión 2, por lo que puede haber como máximo un vector propio generalizado de rango mayor que 1). Alternativamente, se podría calcular la dimensión del espacio nulo de ${\displaystyle A-\lambda I}$ser${\displaystyle p=1}$y por lo tanto hay${\displaystyle mp=1}$autovectores generalizados de rango mayor que 1.

El vector propio ordinario${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$se calcula como de costumbre (consulte la página de autovectores para ver ejemplos). Usando este autovector, calculamos el autovector generalizado. ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$resolviendo

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Escribir los valores:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Esto se simplifica a

${\displaystyle v_{22}=1.}$

El elemento${\displaystyle v_{21}}$no tiene restricciones. El vector propio generalizado de rango 2 es entonces${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$donde a puede tener cualquier valor escalar. La elección de a = 0 suele ser la más sencilla.

Tenga en cuenta que

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

de modo que${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$es un vector propio generalizado, porque

${\displaystyle (A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

de modo que${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$es un vector propio ordinario, y que${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$son linealmente independientes y, por lo tanto, constituyen una base para el espacio vectorial.${\displaystyle V}$.

Este ejemplo es más complejo que el Ejemplo 1. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de bajo orden. ^{[ 42 ]} La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

tiene valores propios${\displaystyle \lambda _{1}=1}$y${\displaystyle \lambda _{2}=2}$con multiplicidades algebraicas${\displaystyle \mu _{1}=2}$y${\displaystyle \mu _{2}=3}$pero multiplicidades geométricas${\displaystyle \gamma _{1}=1}$y${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

Los autoespacios generalizados de${\displaystyle A}$se calculan a continuación. ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$es el vector propio ordinario asociado con${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$es un vector propio generalizado asociado con${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$es el vector propio ordinario asociado con${\displaystyle \lambda _{2}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$son vectores propios generalizados asociados con${\displaystyle \lambda _{2}}$.

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

Esto da como resultado una base para cada uno de los autoespacios generalizados de${\displaystyle A}$. Juntas, las dos cadenas de autovectores generalizados abarcan el espacio de todos los vectores columna de 5 dimensiones.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Una matriz "casi diagonal"${\displaystyle J}$en forma normal de Jordania , similar a${\displaystyle A}$se obtiene de la siguiente manera:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle M}$es una matriz modal generalizada para${\displaystyle A}$, las columnas de${\displaystyle M}$son una base canónica para${\displaystyle A}$, y${\displaystyle AM=MJ}$. ^{[ 43 ]}

La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

tiene un valor propio${\displaystyle \lambda _{1}=5}$de multiplicidad algebraica${\displaystyle \mu _{1}=3}$y un valor propio${\displaystyle \lambda _{2}=4}$de multiplicidad algebraica${\displaystyle \mu _{2}=1}$También tenemos${\displaystyle n=4}$. Para${\displaystyle \lambda _{1}}$tenemos${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$.

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

El primer número entero${\displaystyle m_{1}}$para qué${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$tiene rango${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$es${\displaystyle m_{1}=3}$.

Ahora definimos

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

En consecuencia, habrá tres autovectores generalizados linealmente independientes; uno de rango 3, uno de rango 2 y uno de rango 1. Dado que${\displaystyle \lambda _{1}}$corresponde a una única cadena de tres autovectores generalizados linealmente independientes, sabemos que hay un autovector generalizado${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$de rango 3 correspondiente a${\displaystyle \lambda _{1}}$de tal manera que

pero

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) representan sistemas lineales que pueden resolverse para${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$. Dejar

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Por lo tanto, para satisfacer las condiciones ( 3 ) y ( 4 ), debemos tener${\displaystyle x_{34}=0}$y${\displaystyle x_{33}\neq 0}$No se imponen restricciones a${\displaystyle x_{31}}$y${\displaystyle x_{32}}$. Al elegir${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$, obtenemos

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

como un vector propio generalizado de rango 3 correspondiente a${\displaystyle \lambda _{1}=5}$. Nótese que es posible obtener infinitos otros autovectores generalizados de rango 3 eligiendo diferentes valores de ${\displaystyle x_{31}}$,${\displaystyle x_{32}}$y${\displaystyle x_{33}}$, con${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Sin embargo, nuestra primera opción es la más sencilla. ^{[ 47 ]}

Ahora, usando las ecuaciones ( 1 ), obtenemos${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$como autovectores generalizados de rango 2 y 1, respectivamente, donde

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

El valor propio simple${\displaystyle \lambda _{2}=4}$puede tratarse utilizando técnicas estándar y tiene un vector propio ordinario

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Una base canónica para${\displaystyle A}$es

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$son vectores propios generalizados asociados con${\displaystyle \lambda _{1}}$, mientras${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$es el vector propio ordinario asociado con${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Este es un ejemplo bastante simple. En general, los números${\displaystyle \rho _{k}}$de autovectores generalizados linealmente independientes de rango${\displaystyle k}$no siempre serán iguales. Es decir, puede haber varias cadenas de diferentes longitudes que correspondan a un valor propio particular. ^{[ 48 ]}

Encuentra una matriz en forma normal de Jordan que sea similar a

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Solución: La ecuación característica de${\displaystyle A}$es${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$, por eso,${\displaystyle \lambda =2}$es un autovalor de multiplicidad algebraica tres. Siguiendo los procedimientos de las secciones anteriores, encontramos que

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

y

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

De este modo,${\displaystyle \rho _{2}=1}$y${\displaystyle \rho _{1}=2}$, lo que implica que una base canónica para${\displaystyle A}$contendrá un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 2 y dos vectores propios generalizados linealmente independientes de rango 1, o equivalentemente, una cadena de dos vectores.${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$y una cadena de un vector${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$. Designación${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$, encontramos que

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

dónde${\displaystyle M}$es una matriz modal generalizada para${\displaystyle A}$, las columnas de${\displaystyle M}$son una base canónica para${\displaystyle A}$, y${\displaystyle AM=MJ}$. ^{[ 54 ]} Nótese que dado que los autovectores generalizados no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambos${\displaystyle M}$y${\displaystyle J}$pueden ser intercambiados, por lo tanto, ambos${\displaystyle M}$y${\displaystyle J}$no son únicos. ^{[ 55 ]}

En el Ejemplo 3 , encontramos una base canónica de autovectores generalizados linealmente independientes para una matriz${\displaystyle A}$. Una matriz modal generalizada para${\displaystyle A}$es

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Una matriz en forma normal de Jordan, similar a${\displaystyle A}$es

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

de modo que${\displaystyle AM=MJ}$.

Three of the most fundamental operations which can be performed on square matrices are matrix addition, multiplication by a scalar, and matrix multiplication.^[56] These are exactly those operations necessary for defining a polynomial function of an n × n matrix ${\displaystyle A}$.^[57] If we recall from basic calculus that many functions can be written as a Maclaurin series, then we can define more general functions of matrices quite easily.^[58] If ${\displaystyle A}$ is diagonalizable, that is

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

with

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

then

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

and the evaluation of the Maclaurin series for functions of ${\displaystyle A}$ is greatly simplified.^[59] For example, to obtain any power k of ${\displaystyle A}$, we need only compute ${\displaystyle D^{k}}$, premultiply ${\displaystyle D^{k}}$ by ${\displaystyle M}$, and postmultiply the result by ${\displaystyle M^{-1}}$.^[60]

Using generalized eigenvectors, we can obtain the Jordan normal form for ${\displaystyle A}$ and these results can be generalized to a straightforward method for computing functions of nondiagonalizable matrices.^[61] (See Matrix function#Jordan decomposition.)

Consider the problem of solving the system of linear ordinary differential equations

where

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$     and     ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

If the matrix ${\displaystyle A}$ is a diagonal matrix so that ${\displaystyle a_{ij}=0}$ for ${\displaystyle i\neq j}$, then the system (5) reduces to a system of n equations which take the form

In this case, the general solution is given by

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

In the general case, we try to diagonalize ${\displaystyle A}$ and reduce the system (5) to a system like (6) as follows. If ${\displaystyle A}$ is diagonalizable, we have ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$, where ${\displaystyle M}$ is a modal matrix for ${\displaystyle A}$. Substituting ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$, equation (5) takes the form ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, or

where

The solution of (7) is

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

The solution ${\displaystyle \mathbf {x} }$ of (5) is then obtained using the relation (8).^[62]

On the other hand, if ${\displaystyle A}$ is not diagonalizable, we choose ${\displaystyle M}$ to be a generalized modal matrix for ${\displaystyle A}$, such that ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ is the Jordan normal form of ${\displaystyle A}$. The system ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ has the form

where the ${\displaystyle \lambda _{i}}$ are the eigenvalues from the main diagonal of ${\displaystyle J}$ and the ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ are the ones and zeros from the superdiagonal of ${\displaystyle J}$. The system (9) is often more easily solved than (5). We may solve the last equation in (9) for ${\displaystyle y_{n}}$, obtaining ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. We then substitute this solution for ${\displaystyle y_{n}}$ into the next to last equation in (9) and solve for ${\displaystyle y_{n-1}}$. Continuing this procedure, we work through (9) from the last equation to the first, solving the entire system for ${\displaystyle \mathbf {y} }$. The solution ${\displaystyle \mathbf {x} }$ is then obtained using the relation (8).^[63]