Función analítica de una matriz

Si la función analítica f tiene la expansión de Taylor$${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$ luego una función matricial${\displaystyle A\mapsto f(A)}$se puede definir sustituyendo x por una matriz cuadrada : las potencias se convierten en potencias de matrices , las sumas se convierten en sumas de matrices y las multiplicaciones por coeficientes se convierten en multiplicaciones escalares . Si la serie converge para${\displaystyle |x|<r}$, entonces la serie matricial correspondiente converge para matrices A tales que${\displaystyle \|A\|<r}$para alguna norma matricial que satisface${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$.

Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$es una matriz diagonal , es decir, D tiene la forma $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Como${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$es natural establecer $${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

Se puede verificar que la matriz f ( A ) no depende de una elección particular de P .

Por ejemplo, supongamos que uno está buscando${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$para $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

Uno tiene $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$ para $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

La aplicación de la fórmula simplemente produce $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

Asimismo, $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

Todas las matrices complejas, sean diagonalizables o no, tienen una forma normal de Jordan.${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$donde la matriz J consta de bloques de Jordan . El método adecuado se presenta en detalle en la sección 1.2.2, páginas 4-7, del libro Higham (2008) mediante la interpolación de Hermite con el uso de la matriz de Vandermonde confluente . Considere estos bloques por separado y aplique la serie de potencias a un bloque de Jordan: $${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

Esta definición puede utilizarse para extender el dominio de la función matricial más allá del conjunto de matrices con radio espectral menor que el radio de convergencia de la serie de potencias. Cabe destacar que también existe una conexión con las diferencias divididas .

Un concepto relacionado es la descomposición de Jordan-Chevalley , que expresa una matriz como la suma de una parte diagonalizable y una parte nilpotente.

La fórmula integral de Cauchy del análisis complejo también se puede utilizar para generalizar funciones escalares a funciones matriciales. La fórmula integral de Cauchy establece que para cualquier función analítica f definida en un conjunto D ⊂ C , se tiene $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$ donde C es una curva simple cerrada dentro del dominio D que encierra a x .

Ahora, sustituya x por una matriz A y considere un camino C dentro de D que encierre todos los autovalores de A. Una posibilidad para lograr esto es que C sea un círculo alrededor del origen con radio mayor que ‖ A ‖ para una norma matricial arbitraria ‖ · ‖ . Entonces, f ( A ) se puede definir mediante $${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

Esta integral se puede evaluar fácilmente de forma numérica utilizando la regla del trapecio , que converge exponencialmente en este caso. Esto significa que la precisión del resultado se duplica cuando se duplica el número de nodos. En casos rutinarios, esto se evita con la fórmula de Sylvester .

Esta idea, aplicada a operadores lineales acotados en un espacio de Banach , que puede verse como matrices infinitas, conduce al cálculo funcional holomorfo .

La serie de potencias de Taylor anterior permite el escalar${\displaystyle x}$ser reemplazado por la matriz. Esto no es cierto en general cuando se expande en términos de${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$acerca de${\displaystyle \eta =0}$a menos que${\displaystyle [A,B]=0}$. Un contraejemplo es${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, que tiene una serie de Taylor de longitud finita . Calculamos esto de dos maneras,

• Ley distributiva:$${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• Utilizando la expansión escalar de Taylor para${\displaystyle f(a+\eta b)}$y sustituyendo los escalares por matrices al final:$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

La expresión escalar asume conmutatividad mientras que la expresión matricial no, y por lo tanto no se pueden igualar directamente a menos que${\displaystyle [A,B]=0}$. Para alguna f ( x ) esto se puede tratar utilizando el mismo método que la serie de Taylor escalar. Por ejemplo,${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. Si${\displaystyle A^{-1}}$entonces existe${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$. La expansión del primer término sigue entonces la serie de potencias dada anteriormente,

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

Luego se aplican los criterios de convergencia de la serie de potencias, lo que requiere${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$para ser suficientemente pequeño bajo la norma matricial apropiada. Para problemas más generales, que no pueden reescribirse de tal manera que las dos matrices conmuten, debe rastrearse el orden de los productos matriciales producidos por la aplicación repetida de la regla de Leibniz.

Una función arbitraria f ( A ) de una matriz A de 2×2 tiene su fórmula de Sylvester simplificada a $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$ dónde${\displaystyle \lambda _{\pm }}$son los autovalores de su ecuación característica, | A − λI | = 0 , y están dados por $${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$ Sin embargo, si hay degeneración, se utiliza la siguiente fórmula, donde f' es la derivada de f. $${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

• polinomio matricial
• Raíz de la matriz
• logaritmo matricial
• exponencial matricial
• Función de signo de matriz ^{[ 1 ]}

Una función f se denomina operador monótono si y solo si${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$para todas las matrices autoadjuntas A y H con espectros en el dominio de f . Esto es análogo a una función monótona en el caso escalar.

Una función f se denomina operador cóncavo si y solo si $${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$ para todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f y${\displaystyle \tau \in [0,1]}$Esta definición es análoga a una función escalar cóncava . Una función convexa de operador se puede definir cambiando${\displaystyle \preceq }$a${\displaystyle \succeq }$en la definición anterior.

El logaritmo matricial es monótono y cóncavo respecto a un operador. El cuadrado matricial es convexo respecto a un operador. La exponencial matricial no es ninguna de estas propiedades. El teorema de Loewner establece que una función definida en un intervalo abierto es monótona respecto a un operador si y solo si tiene una extensión analítica a los semiplanos complejos superior e inferior, de modo que el semiplano superior se mapea a sí mismo. ^{[ 2 ]}