Orden de Loewner

En matemáticas, el orden de Loewner es el orden parcial definido por el cono convexo de matrices semidefinidas positivas . Este orden se utiliza habitualmente para generalizar las definiciones de funciones escalares monótonas y cóncavas/convexas a funciones hermíticas monótonas y cóncavas/convexas . Estas funciones surgen de forma natural en la teoría de matrices y operadores, y tienen aplicaciones en numerosas áreas de la física y la ingeniería.

Sean A y B dos matrices hermíticas de orden n . Decimos que A ≥ B si A − B es semidefinida positiva . De manera similar, decimos que A > B si A − B es definida positiva .    

Aunque se suele hablar de ello en matrices (como caso de dimensión finita), el orden de Loewner también está bien definido en operadores (un caso de dimensión infinita) de forma análoga.

Cuando A y B son escalares reales (es decir, n = 1), el orden de Loewner se reduce al orden usual de R. Aunque algunas propiedades familiares del orden usual de R también son válidas cuando n ≥ 2, varias propiedades ya no son válidas. Por ejemplo, la comparabilidad de dos matrices puede dejar de ser válida. De hecho, si ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ }$y${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\ }$Entonces, ni A ≥ B ni B ≥ A son verdaderas. En otras palabras, el orden de Loewner es un orden parcial , pero no un orden total .

Además, dado que A y B son matrices hermíticas, sus autovalores son todos números reales. Si λ₁ ( B ) es el autovalor máximo de B y λₙ ₍ A ) el autovalor mínimo de A , un criterio suficiente para que _A ≥ B es que λₙ ( A ) ≥ λ₁ ( B ) . Si A o _{B es un múltiplo} de la matriz identidad , este criterio también es necesario.

El orden de Loewner no tiene la propiedad de cota superior mínima y, por lo tanto, no forma un retículo . Está acotado: para cualquier conjunto finito${\displaystyle S}$En el caso de las matrices, se puede encontrar una matriz "límite superior" A que sea mayor que todas las matrices S. Sin embargo, habrá múltiples límites superiores. En una red, existiría un máximo único.${\displaystyle \max(S)}$de tal manera que cualquier límite superior U en${\displaystyle S}$obedece${\displaystyle \max(S)}$≤ U . Pero en el orden de Loewner, se pueden tener dos cotas superiores A y B que son ambas mínimas (no hay ningún elemento C < A que también sea una cota superior) pero que son incomparables ( A - B no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa).

• Trazar desigualdades

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