operador positivo

En matemáticas (específicamente álgebra lineal , teoría de operadores y análisis funcional ), así como en física , un operador lineal${\displaystyle A}$Una función que actúa sobre un espacio de producto interno se denomina semidefinida positiva (o no negativa ) si, para cada${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} (A)}$,${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$y${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$es el dominio de${\displaystyle A}$Los operadores semidefinidos positivos se denotan como${\displaystyle A\geq 0}$Se dice que el operador es definido positivo y se escribe${\displaystyle A>0}$, si${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$. ^{[ 1 ]}

Muchos autores definen un operador positivo${\displaystyle A}$ser un operador no negativo autoadjunto (o al menos simétrico). Demostramos a continuación que, para un espacio de Hilbert complejo, la autoadjuntividad se deduce automáticamente de la no negatividad. Para un espacio de Hilbert real, la no negatividad no implica autoadjuntividad.

En física (específicamente en mecánica cuántica ), dichos operadores representan estados cuánticos , a través del formalismo de la matriz de densidad .

Toma el producto interior${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ser antilineal en el primer argumento y lineal en el segundo y suponer que${\displaystyle A}$es positivo y simétrico, lo que significa que ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$. Entonces la no negatividad de

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

para todos los complejos${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$muestra que

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

Resulta que${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$Si${\displaystyle A}$se define en todas partes y${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$entonces${\displaystyle Ax=0.}$

Para${\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A,}$la identidad de polarización

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

y el hecho de que${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$para operadores positivos, demuestre que${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$entonces${\displaystyle A}$es simétrico.

En contraste con el caso complejo, un operador semidefinido positivo en un espacio de Hilbert real${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$puede que no sea simétrico. Como contraejemplo, defina${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ser un operador de rotación por un ángulo agudo${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$Entonces${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$pero${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$entonces${\displaystyle A}$no es simétrico.

La simetría de${\displaystyle A}$implica que${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$y${\displaystyle A=A^{*}|_{\operatorname {Dom} (A)}.}$Para${\displaystyle A}$para ser autoadjunto, es necesario que${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}.}$En nuestro caso, la igualdad de dominios se cumple porque${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*},}$entonces${\displaystyle A}$es de hecho autoadjunto. El hecho de que${\displaystyle A}$que ahora está acotado se deduce del teorema de Hellinger-Toeplitz .

Esta propiedad no se mantiene${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

Un ordenamiento parcial natural de operadores autoadjuntos surge de la definición de operadores positivos. Definir${\displaystyle B\geq A}$si se cumplen las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son autoadjuntos
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

Se puede observar que un resultado similar al del teorema de convergencia monótona se cumple para operadores autoadjuntos, acotados y monótonos crecientes en espacios de Hilbert. ^{[ 2 ]}

La definición de un sistema cuántico incluye un espacio de Hilbert separable complejo.${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$y un conjunto${\displaystyle {\cal {S}}}$de operadores de clase de traza positiva${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$para qué${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$El conjunto${\displaystyle {\cal {S}}}$es el conjunto de estados . Cada${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$se denomina operador de estado o de densidad .${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$dónde${\displaystyle \|\psi \|=1,}$el operador${\displaystyle P_{\psi }}$de proyección sobre el tramo de${\displaystyle \psi }$se denomina estado puro . (Dado que cada estado puro es identificable con un vector unitario)${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$Algunas fuentes definen los estados puros como elementos unitarios de${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$Los estados que no son puros se denominan mixtos .

• Conway, John B. (1990), Análisis funcional: una introducción , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5